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Le Roi tranchera
Par Arpegius - 12 jan. 2010   


+18
28 commentaires Spacroyable !
Spitoyable.


On a au minimum 1 chance sur 4 de tomber sur la fève en coupant la galette des rois.

Détails :

Les hypothèses considérées sont les suivantes : 8 convives se partagent de manière égale une galette d’un diamètre de 25 cm dans laquelle se trouve une fève circulaire de 2,5 cm de diamètre.

Rappelons dans un premier temps que la position de la fève influe très fortement sur la probabilité de tomber dessus en coupant la galette. Si la fève est au centre de la galette, il est certain de tomber dessus. A contrario, la probabilité est la plus faible lorsque la fève est sur le bord.

Dans ce dernier cas, appelons la probabilité de toucher la fève en coupant les parts “p”.
P = longueur de l’arc de cercle occupé par la fève divisé par longueur de l’arc de cercle occupé par une part.
La longueur de l’arc de cercle occupé par la fève vaut approximativement 2,5 cm et la longueur de l’arc de cercle occupé par une part = 2*pi*12,5/8 = 9,8 cm.
Donc p = 0,248, soit environ 1/4.

Il y a donc au minimum une chance sur 4 de tomber sur la fève en découpant la galette pour ces dimensions.
Voilà pourquoi on tombe si souvent dessus.

Vous trouverez ci-dessous les calculs permettant de considérer une autre forme de fève, ou un placement aléatoire de cette dernière.


Raph
Raph - 5 jan. 2010 - 10:21 - (lien vers ce commentaire)

D'accord avec Camtuf pour prendre le cas de la fève sur le bord, ce qui donne du coup une probabilité minimale.
J'ai quand même refait le calcul proprement pour une disposition aléatoire dans toute la galette (je m'étais un peu avancé avec le “simple intégrale”... ça devient trop compliqué pour le lsv, mais ça peut être bien de le laisser en commentaire pour contrer les critiques potentielles des hypothèses)

Ceux qui sont un peu faché avec les maths, vous pouvez passer direct à la fin du commentaire….

J'appelle d la longueur caractéristique de la fève, R le rayon de la galette. On pose alpha, l'angle dans lequel s'inscrit la feve (la part minimale découpée autour de la feve), et n le nombre de coups de couteaux.
alpha=2*arcsin(d/2r)
La probabilité, pour une fève placée à un endroit donnée, de la toucher en découpant ne dépend que de sa position radiale ( r ). Cette probabilité se calcule facilement:

P1=alpha/angle_entre_2_coups_de_couteau
P1=2*arcsin(d/2r)/(2*pi/n)=n*arcsin(d/2r)/pi

On a donc la proba de toucher la feve pour un placement donné, reste à determiner la probabilité que la feve soit à un endroit (rayon) donné, et on pourra intégrer.
La probabilité que la fève se trouve dans une couronne de rayon interne r, et externe r+dr (avec dr tres petit), vaut:
P2=surface_couronne/surface_totale_galette
P2=pi* ((r+dr)2-r2)/(pi*R^2)
P2=2rdr/R^2

Il ne reste plus qu'a intégrer le produit de ces deux probabilités sur l'ensemble des couronnes pour obtenir la probabilité totale de rencontre de la fève:

P_rencontre=int(P1*P2) de d/2 à R

Ce qui se traite facilement numériquement, et donne, pour n=8, d=2.5, R=12.5, une probabilité de 58%.

En prenant une longueur caractéristique d de 1.75cm (en prenant une feve de forme oblongue, cf. post précédent), on obtient une proba de rencontre de 40%.
Ces valeurs sont élevées, mais le cas est quand même défavorable, a priori, le pâtissier avec un peu de jugeote ne va pas planter sa fève en plein milieu du gâteau.

Quoi, qui a dit que j'avais rien d'autre à foutre de mes journées?



Mystic
Mystic - 12 jan. 2010 - 05:19 - (lien vers ce commentaire)

Raph, pourquoi est ce que tu intègre de d/2 à R ? Si on considère une fève ronde de rayon d sur une galette de rayon R, il faudrait intégré de d/2 à R-d/2 non ?
Et puis je sais pas si j'ai fait une erreur dans l'intégration mais j'obtiens pas la même chose.
P_rencontre = Int(2*r*n/Pi/R^2*arcsin(1/2*d/r),r = 1/2*d .. R-1/2*d)
= 1/8*n*(-d2* Pi+8*arcsin(d/(2*R-d))* R2-8*arcsin(d/(2*R-d))* R* d+2*arcsin(d/(2*R-d))* d2+4* (R*(R-d))(1/2)* d)/Pi/R^2
Avec n=8, d=2.5, R=12.5, j'obtiens 41.7%.
Et en intégrant à ta manière de d/2 à R, j'ai
P_rencontre = 1/8*n*(-d2* Pi+8*arcsin(1/2*d/R)* R2+2* (4*R2-d2)(1/2)* d)/Pi/R^2
Avec les même valeur on a 46.8%.

Pour une fève de 1.75cm on a donc une probabilité de 31.2%.

Mais à la base je reprenais tes calculs parce que là on est parti avec une fève ronde de 2.5cm, et je sais pas si ça vient de chez moi mais j'ai jamais vu de fève si énorme, ou même ronde !
Donc je voulais refaire ce même calcul avec une fève rectangulaire de largeur l et de longueur L.
On a une nouvelle variable qui rentre en jeux du coup, c'est la position de la fève. Pour qu'on est une probabilité minimale, on aura une fève placée avec sa longueur dans le rayon de la galette, ainsi on se retrouve dans le cas précèdent, avec d=largeur_de_la_fève. De la même manière, pour une probabilité maximale, on prendra d=longueur_de_la_fève.

En reprenant les calculs de Raph, il faut modifier l'angle alpha. Soit l'angle delta l'angle représentant la position de la fève. On prend delta = 0 lorsque la longueur de la fève est dans le rayon, et delta = pi/2 lorsque c'est sa largeur.
Pour faciliter les calculs, on peut prendre uniquement la diagonale D du rectangle, et admettre que le rectangle n'est en fait qu'une ligne de cette longueur. Les calculs sont exactes lorsque la fève 'touche' la part d'angle alpha par deux coins opposés. Si elle la 'touche' par deux coins adjacent dessinant la longueur, le calcul exacte serait fait grâce à la longueur de la fève, qui est à peu prêt égale à la diagonale étant donné que la largeur est bien plus petite que la longueur de celle ci, ainsi le carré de la largeur est négligeable devant le carré de sa longueur, d'où L équivalent à D. Le dernier cas est celui lorsque la fève 'touche' la part d'angle alpha par une de ses largeurs, mais la largeur étant petite ce cas n'arrive que rarement.

On a D=(L2+l2)^(1/2).
r est le rayon intérieur d'où la fève 'touche' la part d'angle alpha. L'angle delta est l'angle intérieur entre le rayon où la fève est touché en r et la fève. On a ainsi un triangle de longueurs r, D et x, avec des angles d'alpha entre r et x, delta entre r et D.
Avec Al-Kashi on a x2=r2+D2-2*r*D*cos(delta)
De même, D2=r2+x2-2*r*x*cos(alpha)
Donc alpha=Arccos((r2+x2-D2)/(2*r*x))



Mystic
Mystic - 12 jan. 2010 - 06:57 - (lien vers ce commentaire)

(Suite)
Donc, alpha = arccos(1/2*(2*r2–2*r*d*cos(delta))/r/(r2+d2–2*r*d*cos(delta))(1/2))

Alpha n'étant pas intégrable, j'ai calculé l'espérance de alpha en faisant la somme des angles pour delta de 0 à 2*pi, avec un pas assez grand (j'ai pris 100).

Ensuite on intègre de la même manière que précédemment, entre D/4 et R-D/4 (car D/4 est à peut prêt la longueur porté sur le rayon moyenne), avec P1=alpha_moyen/(2*pi/n)

Pour n=8, D=2.5 et R=12.5, on a une probabilité de 31.0%
Pour D=1.5, P= 19.1%



Mystic
Mystic - 12 jan. 2010 - 07:11 - (lien vers ce commentaire)

(Suite)

Pour encore plus de précision on peut tenir compte de la position par rapport à la verticale de la fève, en admettant que celle ci rentre dans la hauteur de la galette.
On a donc un angle téta similaire à l'angle alpha qui modifie la diagonale D de la fève portée sur l'horizontale.
Si D est la diagonale réelle de la fève, on a D' la diagonale portée sur l'horizontale avec D' = D*Abs(cos(téta)), avec Abs la valeur absolue.
téta est compris entre 0 et 2*Pi, il est donc simple d'integrer D'. L'integrale de |cos| entre 0 et 2Pi nous donne 4.
D'où D' moyen Dm' = 2*D/Pi.

Ainsi, pour une galette de 12.5cm, avec une fève en forme de parallélépipède rectangle de n cm de diagonale, et pour 8 parts, on a une probabilité de tomber sur la fève en coupant la galette de :

Pour n=2.5 => 20.2%
Pour n=1.5 => 12.3%



Lotharius
Lotharius - 12 jan. 2010 - 10:05 - (lien vers ce commentaire)

et je sais pas si ça vient de chez moi mais j’ai jamais vu de fève si énorme, ou même ronde !

une longueur de 2,5 cm pour une fève paraît assez courant.
La raison pour laquelle Raph en fait une fève ronde de 2,5 de diamètre est que pour simplifier son calcul, la fève peut être tournée dans tous les sens, et que donc, il considère un diamètre possible de 2,5.

Evidemment, cela biaise un peu le calcul par rapport à la réalité, mais cela reste de toute manière un calcul assez théorique. La chose importante de ce LSV n'étant pas de fournir un calcul rigoureusement exact par par rapport à la réalité. Il y a d'ailleurs tellement de formes et de dimensions possibles qu'il est impossible d'édicter une règle d'or valable pour toutes les galettes.

Le but de l'exercice est surtout d'expliquer en grandes lignes pourquoi l'on tombe si souvent sur la fève en coupant la galette. On arrive toujours entre une chance sur 4 et une sur 5 (et plus au fur et à mesure que la fève se rapproche du centre de la galette).

Merci toutefois pour tes précisions et tes calculs qui ne manqueront pas d'intéresser les plus sensibles à ce genre de statistiques.



Raph
Raph - 12 jan. 2010 - 11:48 - (lien vers ce commentaire)

Mystic: Quelle vivacité dans la réaction, ça fait plaisir à voir! Je n'avais même pas encore vu que le lsv avait été validé, que tu avais déjà posé 3 commentaires et étendu le domaine d'étude… félicitations!
Je n'ai pas refait tes calculs, et je salue d'ailleurs ta motivation pour avoir calculé l'intégrale analytiquement (où alors tu as utilisé maple ou mathématica ^^) mais les valeurs que tu trouves me semblent cohérentes avec ce que j'ai. Je m'explique:

- Pour les bornes d'intégration: En réalité, j'ai considéré que la fève pouvait être positionnée de 0 à R sur un rayon. Or on se trouve avec une probabilité p1 (cf mon 1er post) non définie entre 0 et d/2. J'ai donc posé p1=1 sur cet intervalle, et intégré sur la totalité d'un rayon (je ne l'ai pas dit parce que ça me semblait suffisament compliqué comme ça…). Mais ce qui explique que je trouve des valeurs légèrement plus élevées que toi.

- Pour les dimensions de la fève, un de mes posts de modération est passé à la trappe, mais j'étais arrivé à la même conclusion que toi: la fève est généralement de forme oblongue (par contre les 2.5cm me semble réaliste). J'avais donc pris le cas idéal d'une fève disposé horizontalement dans la galette, représenté par un baton infiniment fin de 2.5cm de long. Ce cas est facile à prendre en compte à l'aide des calculs précédents, en considérant une longueur caractéristique (une fève circulaire équivalente), obtenue en intégrant la projection azimutale de la fève sur un tour complet. La projection s'obtient en multipliant par le cosinus de l'angle de la fève, et on se retrouve avec à intégrer un cos sur une période, ce qui donne 1/racine(2). La longueur caractéristique est donc d/racine(2), ce qui correspond au 1.75cm que j'ai utilisé plus haut. Cela revient à faire ce que tu as fait, mais un peu moins proprement. Par contre je n'avais pas pris en compte l'inclinaison verticale de la fève, mais on pourrait le faire de la même façon.

Une dernière remarque: je m'aperçois en te répondant qu'il y a une erreur dans ce que j'ai fait: je n'ai pas borné la probabilité p1 à 1. Or si on augmente le nombre de coup de couteaux n, on finira par dépasser cette valeur. Il faudrait donc pour être rigoureux, reprendre le calcul en définissant p1 par morceaux, ou en la bornant à 1.
Edit: En refaisant les calculs dans ce cas, on obtient une probabilité de 25% pour une fève oblongue de 2.5cm, et 35% pour une fève circulaire.

PS: Merci à tous ceux qui sont arrivés au bout de ce post imbitable, ça fait chaud au coeur ^^



camtuf
camtuf - 13 jan. 2010 - 14:05 - (lien vers ce commentaire)

PS: Merci à tous ceux qui sont arrivés au bout de ce post imbitable, ça fait chaud au coeur ^^

Ca compte si c’est après avoir zappé tout le corps de texte ? ^^



Calvin
Calvin - 24 jan. 2010 - 14:42 - (lien vers ce commentaire)

Le même problème est abordé différemment sur http://omnilogie.fr/O/De_la_probabilit%C3%A9_de_tomber_sur_la_f%C3%A8ve_en_coupant_la_galette_des_rois : au lieu de diviser le périmètre par le nombre de coups de couteau, la probabilité est calculée pour un coup, puis on considère huit répétitions de cette même expérience.

Bonne lecture !



Raph
Raph - 25 jan. 2010 - 09:53 - (lien vers ce commentaire)

la probabilité est calculée pour un coup, puis on considère huit répétitions de cette même expérience.

Ce qui est faux… Cela serait valable si les coups de couteaux étaient répartis aléatoirement, or ils sont généralement régulièrement répartis. Du coup, appliquer une loi binomiale (ce qui est fait dans ta source Calvin) aboutit à une probabilité de rencontre de la fève qui tend asymptotiquement vers 1, sans jamais l'atteindre, lorsque l'on augmente le nombre de coups de couteaux. Alors qu'en pratique, à partir d'un certain nombre de parts découpées, on a 100% de chances de tomber sur la fève (lorsque la largeur maximale de la part est plus petite que la dimension minimale de la fève).



Calvin
Calvin - 25 jan. 2010 - 14:41 - (lien vers ce commentaire)

En effet, la répartition régulière des coups de couteau impose à la probabilité d'atteindre 1 au delà d'une certaine limite. Mais hors de ces limites, le raisonnement semble valable non ?



Raph
Raph - 25 jan. 2010 - 15:07 - (lien vers ce commentaire)

Mais hors de ces limites, le raisonnement semble valable non ?

Non, ça reste faux (mais effectivement, ça l'est d'autant plus que le nombre de part est important). En pratique, en prenant des coups de couteaux répartis régulièrement, la probabilité augmente linéairement avec leur nombre n. Avec une loi binomiale, ce n'est pas le cas. J'ai tracé l'allure de la courbe ici:
http://tinyurl.com/y97xrd8
cela correspond à la probabilité de tomber sur la fève dans le cas d'une loi binomiale. Si tu suis mon raisonnement, cela devrait être une droite.



Calvin
Calvin - 31 jan. 2010 - 22:19 - (lien vers ce commentaire)

OK !



le_hollandais_volant

Tous vos calculs me donnent la nausée, ça serais pas plus simple de faire l'expérience : on achète 100 galettes et on les coupe en 8 et on regarde si on tombe dessus ou pas.

Et pis en plus, la taille de la galette elle même importe, ça fait une nouvelle intégrale à faire et qui donne une courbe en 3D :p
Bonne chance :D



bipede33
bipede33 - 13 avr. 2010 - 19:18 - (lien vers ce commentaire)

le hollandais: et en plus, on se fait une bonne bouffe, on fera un concours de connaissances de LSV, on refera les calculs sur un vrai tableau noir à la craie… Un pur moment de bonheur



le_hollandais_volant

Si on fait une fête, faut pas trop l'arroser, sinon bonjour les calculs^^

Mais je suis partant :D



oli197504
oli197504 - 3 juil. 2010 - 13:31 - (lien vers ce commentaire)
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el_nino
el_nino - 23 juil. 2010 - 13:54 - (lien vers ce commentaire)
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jeremy21000
jeremy21000 - 30 jan. 2011 - 13:55 - (lien vers ce commentaire)

@el_nino
qu'est-ce-que les normales saisonnières et des phases de la lune font dans un calcule de probabilité de tomber sur la fève en coupant une galette?
A moins que tu ne veuille prévoir les coefficients de marée en plus?



Kicker
Kicker - 5 avr. 2011 - 00:23 - (lien vers ce commentaire)

Tout ceci en admettant que la fève soit placée de façon totalement aléatoire sur la galette. Or, les boulangers/pâtissiers mettent généralement la fève près des bords.



leumas
leumas - 5 avr. 2011 - 01:35 - (lien vers ce commentaire)

moi ça me donne mal à la tête tous ces calculs!^^



yannick59
yannick59 - 1 sep. 2011 - 18:02 - (lien vers ce commentaire)

vais me reprendre un bout de galette…



Skyy
Skyy - 1 sep. 2011 - 18:42 - (lien vers ce commentaire)

Je suis pas d'accord, si je coupe la galette en deux, j'ai une chance sur deux d'avoir la fève.
Si je la coupe en 3 j'ai une chance sur 3 de l'avoir et si je ne la coupe pas, je l'ai à coups sur.



Raph
Raph - 1 sep. 2011 - 20:55 - (lien vers ce commentaire)

Skyy: Tu n'as pas compris l'objet du lsv: le but est de calculer la probabilité de tomber sur la fève en découpant la galette (donc que le couteau entre en contact avec fève).



Skyy
Skyy - 2 sep. 2011 - 18:37 - (lien vers ce commentaire)

Aww okay, pardon :)



vel
vel - 8 mars 2012 - 18:58 - (lien vers ce commentaire)

j'ai l'impression que si je sort ce LSV entre copains au moment de couper la galette, cela vas se terminer en pugilat,
L'abus d'alcool peut nuire à votre santé surtout accompagné de mathématiques



freelancer69
freelancer69 - 26 juin 2013 - 02:22 - (lien vers ce commentaire)

Vive la masturbation neuronale de nos très chers modos hyper scientifiques ;)
J'avais du mal à dormir, ça va mieux là :p

Enfin, si ça peut vous soulager, perso, je préfère enfourner la galette et manger la reine. heu…...., dans le désordre ça marche aussi ;)



cortx
cortx - 22 août 2013 - 13:45 - (lien vers ce commentaire)
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mansuetus
mansuetus - 22 août 2013 - 16:41 - (lien vers ce commentaire)

cortx :
Effectivement, tu n'as rien compris au LSV.

Minimum, ça veut dire plus petit. Tu as donc toujours AU MOINS une chance sur 4 de tomber dessus.

1. Cas de la fève sur le milieu.
Tu as 100% de chances de la toucher.

2. Cas de la fève complètement à l'extérieur de la galette
Tu as 25% de chances de la toucher.

3. Cas de la fève jetée au pif dans la galette
Tu as 58% de chances de la trouver, comme indiqué dans le premier commentaire qui explique pourquoi on a écrit ce LSV comme ça…

Moralité :
Avant de commenter, il faut lire (tous) les commentaires.

(et tu donnes l'impression d'être fâché avec les maths : 1/4 > 1/5. Lapsus, je présume…)