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La fleur des maux
Par aleyce - 17 jan. 2009   


+44
15 commentaires Spacroyable !
Spitoyable.


Toutes les prévisions mathématiques de l'évolution des cours boursiers reposent sur le pollen.

Détails :

Dans la deuxième partie du XXème siècle, le japonais Itô développa une extension de la théorie des probabilités dite mathématiques stochastiques. Cette nouvelle théorie est utilisée depuis quelques décennies pour calculer la valeur des actifs conditionnels sur les marchés financiers (c'est-à-dire les “options” : d'achat, de vente, de revente, de remboursement si défaillance de la contrepartie, etc..)

Pour déterminer leur prix, comme pour les autres options, on utilise les mathématiques stochastiques, et la base des mathématiques stochastiques (en temps continu) c'est le mouvement Brownien.

C'est comme une fonction mais dont les variations sont aléatoires, mais d'un aléa assez “simple” dont on sait mesurer la probabilité : l'évolution en dent de scie du cours des options est très proche de ses variations, quand on veut extrapoler le comportement du prix d'un actif, ce qu'on utilise : c'est lui.

Et enfin, pour finir ce long explicatif : le mouvement Brownien est baptisé du nom d'un biologiste qui au XIXème siècle regarda des grains de pollen se diffuser dans de l'eau, il trouva que leur mouvement était particulier, le mouvement de ces grains de pollen dans de l'eau, c'est le mouvement Brownien, qu'on différencie, sur lequel on effectue des calculs simples pour avoir le prix futur des options sur les marchés (avec les données des analystes financiers pour les constantes).

Sources :

En 1ère approche les pages Wikipedia de : Brown , Credit Defaut Swap
Lemme d'Itô pour le voir à l'œuvre.


aleyce
aleyce - 28 déc. 2008 - 18:58 - (lien vers ce commentaire)

En fait j'ai voulu expliquer le lien avec la crise actuelle, et bon même si c'est très simple, c'est long a expliquer simplement. Je voulais juste que tout ceux qui ne sont pas familier des mécanismes financiers y voient plus clairs, mais vous avez raison c'était un peu too much pour un LSV, autant l'oublier et un jour j'en referai un plus concis et clair là dessus.
Du coup, juste après avoir poster celui là, je me suis dit la même chose que vous et j'ai fait un autre LSV sur le mois d'aout qui je pense vous plaira, par contre désolé pour l'orthographe, je corrigerai bien mes fautes si y avais un bouton éditer, sinon ben merci de le faire a ma place.
Voilà, merci a vous pour ce petit carré culturelle et souvent saisissant sur ma page d'accueil, j'aime bien alors je voulais participer ! A bientôt



nokiboy
nokiboy - 27 jan. 2009 - 12:40 - (lien vers ce commentaire)

et dire qu'on croyait qu'ils etaient intelligents alors qu'ils sont justes observateurs.. :-)



Aikanaro
Aikanaro - 9 fév. 2009 - 20:35 - (lien vers ce commentaire)

hum, y'a un rapport avec la loi d'agitation moléculaire Brownienne ? ^^



Junk
Junk - 9 fév. 2009 - 21:58 - (lien vers ce commentaire)

Aika : oui. Le mouvement brownien est regule parl e fait que les molecules qui se coggent s'eloignenet les unes des autres. a ce titre c'est un 'bruit rouge', c'est a dire un spectre qui decroit en amplitude quand la frequence augmente… (en fonction du carre de celle ci).

(J'ai fait mon memoire de master sur des trucs lies)



Aikanaro
Aikanaro - 10 fév. 2009 - 13:52 - (lien vers ce commentaire)

oui je sais ce que c'est (enfin je le savais moins bien que ca ^^) mais c'est ce qu'il a déduit en regardant les grains de pollens dans l'eau ?



Junk
Junk - 10 fév. 2009 - 14:15 - (lien vers ce commentaire)

Ben la tension superficielle fait qu'ils se repoussent les un les autres et bougent a la surface, mais que leur 'concentration' (nombre de grain sur une surface donnne) reste constante, a la maniere des molecules d'un gaz. A l'echelle moleculaires, la seule chose qui fait qu'un gaz occupe un contenant avec une pression equilibree de partout, c'est que les molecules se cognent, et se repoussent.



Balt
Balt - 22 sep. 2009 - 01:36 - (lien vers ce commentaire)

Note sur le LSV :
la différence principale étant, si je ne m'abuse, que pour le pollen, la tension superficiel à la surface de l'eau, du fait de forte cohésion des molécules d'eau (effet le plus connu : la capillarité), limite l'étalement…
En gros, à partir d'une certaine concentration de pollen par unité de surface, l'eau créée une paroi invisible bloquant la diffusion des grains de pollen…
Comme si pour un gaz, on l'enfermait dans un récipient ...

Il me semble que c'est cette propriété qui rend “simple” l'aléatoire du modèle mathématique…

Pour Aikanaro : oui : le mouvement des molécules d'un gaz, définie par la théorie cinétique des gaz, peut être modélisé par un mouvement Brownien… La loi étant simplement qu'entre 2 chocs, les particules se déplace en ligne droite à vitesse constante…



Gwigwi
Gwigwi - 19 nov. 2009 - 16:18 - (lien vers ce commentaire)
Ce commentaire est caché parce que vous ne l’aimez pas
(ou parce que trop de gens ne l’aiment pas).
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Siddhartha
Siddhartha - 26 jan. 2010 - 14:41 - (lien vers ce commentaire)

Je voudrais contredire légèrement ce LSV. Le modèle Brownien est certes le plus utilisé, et le plus enseigné dans les cours de maths financières (j'ai moi-même eu l'occasion d'étudier le calcul stochastique appliqué au monde des finances), mais je pense que ce n'est pas le seul.
Il y a en effet d'autres modèles, comme le modèle de Mandelbrot qui était basé sur les fractales et qui a de nouveau cours depuis la fin des années 1990:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot

Autre anecdote: Itô est décédé fin 2008 (à l'époque justement où je suivais le cours de Maths Financières). Il parait que c'était un homme qui parlait fort et était assez agité.



Junk
Junk - 8 fév. 2010 - 16:11 - (lien vers ce commentaire)

J'ai corrige les fautes reperees par Minizyl, plus quelques autres trouvees au passage, mais je pense que le detail gagnerait a etre partiellement re-ecrit.

En particulier : “l’évolution en dent de scie du cours des options est très proche de ses variations, quand on veut extrapoler le comportement du prix d’un actif, ce qu’on utilise : c’est lui.”,

et ” le mouvement Brownien est baptisé du nom d’un biologiste qui au XIXème siècle regarda des grains de pollen se diffuser dans de l’eau, il trouva que leur mouvement était particulier, le mouvement de ces grains de pollen dans de l’eau, c’est le mouvement Brownien, qu’on différencie, sur lequel on effectue des calculs simples pour avoir le prix futur des options sur les marchés (avec les données des analystes financiers pour les constantes).”, qui se repete un peu, et repete ce qui a ete dit plus haut…

Il y aurait moyen de faire ca en evitant les phrases d'un paragraphe de long…



kuknorris
kuknorris - 23 fév. 2010 - 12:24 - (lien vers ce commentaire)

bientôt pour faire de la prédication financière il n'y aura donc plus qu'à regarder sa Mandelbulbe ^^



Loupiot
Loupiot - 27 avr. 2011 - 22:49 - (lien vers ce commentaire)

Quelques précisions sur ce LSV qui a choqué mon téléphone (pour son titre au moins) :

On ne fait pas de prédiction grâce au mouvement Brownien, c'est juste une manière de modéliser les rendements (et non les prix, car un MB peut être négatif) d'une action, d'un taux d'intérêt ou d'un taux de change par exemple. Faire des prédictions avec un modèle probabiliste reviendrait à choisir un nombre au pif entre 1 et 6 et dire “je prévois que mon dé vaudra tant”.

C'est Louis Bachelier (un français !) qui a eu le premier l'idée de lier MB et finance, dans sa thèse en 1900. C'est devenu la norme grâce à Black, Scholes et Merton en 1973 (prix Nobel d'économie en 1997, sauf Black mort 2 ans plus tôt) avec une formule qui, dans ce modèle, donne le prix d'une option et une stratégie de couverture parfaite à chaque instant (le risque est donc “éliminé”, ce qui énerve beaucoup les observateurs et commentateurs mal informés).

Pour dédouaner un peu les maths en finance : ce modèle (un parmi tant d'autres, mais si simple !) n'est pas du tout à l'origine de la crise, mais le manque de communication entre les “modélisateurs” (dits quants) et les opérateurs peut être à blâmer, ces derniers ne comprenant pas (ne voulant pas comprendre ?) qu'un prix dépend du modèle choisi, et qu'en temps “agité” les modèles simples ne marchent pas. La finance est une science presque humaine, il n'y a donc pas de “bon” modèle. On a coutume de dire “tous les modèles sont faux, certains sont utiles”.

Enfin, on peut citer un autre objet mathématique, le “processus de Poisson” (Poisson étant un matheux, toujours français) qui sert de base à l'introduction de sauts dans la modélisation des cours, certains actifs financiers (prix de l'électricité par exemple) présentant des discontinuités évidentes dans leurs trajectoires. Dans tous les modèles probabilistes, après avoir “enlevé” la tendance, la partie brownienne engendre le côté “continu” des trajectoires, et le processus de Poisson leurs discontinuités.



camtuf
camtuf - 9 mai 2011 - 14:05 - (lien vers ce commentaire)

Hello Loupiot, peux tu préciser quelle partie te choque en particulier? Le titre n'est jamais sérieux dans les LSV donc si c'est le côté “les financiers sont des affreux méchants” qui t'a choqué, ya pas de quoi. Après, pour le modèle de B&S, je ne suis pas tout à fait d'accord avec toi dans la mesure où les conditions à réunir pour la parfaite application du modèle ne correspondent pas exactement à la réalité. De facto, l'élimination totale du risque est un leurre.

Néanmoins, je suis d'accord avec toi sur le fait que le principal défaut mis en lumière par la crise est le manque de transparence et d'informations.



Loupiot
Loupiot - 13 mai 2011 - 00:31 - (lien vers ce commentaire)

Bonjour camtuf. Je reconnais et m'agenouille humblement que ma première phrase n'est pas appropriée. D'ailleurs je ne parlais pas du titre mais du texte, en particulier le mot “prédiction”, et je n'entendais pas “tous les financiers sont méchants” mais “les probabilistes cherchent à prédire l'avenir”. L'objectif des probas appliquées (je caricature) n'est pas de prédire que l'avenir sera le résultat d'une simulation mais de simuler correctement pour ensuite faire une moyenne (loi des grands nombres).

Le modèle de Black-Scholes, pour une action par exemple, est un modèle de marché dit “complet”. Cela signifie qu'à chaque instant de la durée de vie d'un produit dérivé (option par exemple), il existe un “portefeuille” contenant un certain nombre d'actions et un certain nombre d'“actif sans risque” (un truc qui rapporte le taux d'intérêt, genre de l'argent placé/emprunté à la banque) qui a le même prix et la même dynamique que le produit en question. Si j'ai vendu une option, je n'ai qu'à acheter cette stratégie et alors je suis couvert à chaque instant (sans utiliser de produit dérivé) et sûr de ne faire aucune perte (mais aucun gain non plus). En ce sens, j'élimine le risque.

Ce modèle est populaire parce qu'il est simpl(issim)e. Comme tous (je dis bien tous) les modèles probabilistes en finance, on peut facilement montrer qu'il est faux en le confrontant à la réalité (pour revenir au mouvement brownien, les rendements observés ne sont jamais gaussiens par exemple). La “parfaite application” d'un modèle est donc une notion assez floue, il faut essayer de choisir un modèle pas trop complexe et pas trop faux. En temps “normal”, le modèle de BS marche assez bien (sous réserve de bien choisir les paramètres).

De très nombreux modèles de marché incomplets existent, le premier étant celui de Merton (1976) qui introduit des sauts dans les trajectoires pour représenter l'arrivée d'informations inattendues. La réplication décrite plus haut n'est plus possible.

(peur me faire bannir à force de trop longs commentaires)



camtuf
camtuf - 13 mai 2011 - 12:17 - (lien vers ce commentaire)

Ne t'inquiètes pas, pas de risque de bannissement pour propos constructifs et réfléchis.

Autant je suis assez bien ta présentation des modèles financiers que je connais bien (plus du point de vue financier que mathématique cependant), autant je cherche à comprendre ce qui te choque exactement dans ce LSV (que je n'aime pas soit dit en passant).

Bref, peux tu nous dire quelle partie te choque, comment tu la reformulerais et pourquoi?