La démonstration n'est pas tout à fait rigoureuse, mais c'est un fait et c'est mathématiquement accepté.

@Madinko12 : si tu as une démonstration rigoureuse et “simple” à lire, je suis preneur ! J'aime assez le :
0,99999… = Lim n->+oo (1 – 1/10^n) = 1

EDIT (13 juin 2010) :

Au fait, lorsque vous serez (étiez) en première S (si les programmes changent pas trop), vous découvrirez le concept de limite.

Muni de ce concept, et dans votre grande folie, vous tenterez probablement une sortie :

Lim f(x)   ~= 2
x-> +oo

Et là, si votre prof n'est pas complètement ivre en corrigeant votre copie il vous honorera d'une magnifique rature :

La limite n'est pas “à peu près égale” à 2 : elle l'est STRICTEMENT (sauf si c'est égal à 3 ou 0, mais en tout cas, ce ne sera JAMAIS ”~”)

C'est un bel exemple de syllogisme en fait.
On part de deux équivalence pour en déduire nue troisième (fausse ou incomplète). En effet, si A = C et B=C, on dit que A=B.
Seulement, il faut pour cela que A soit vraiment égal à C.
Or, si la fraction 1/3 est équivalente au nombre décimal 0,333…, ce n'est pas vraiment la même chose, mais une approximation très très proche. Du moment que la première assertion est fausse, la conclusion l'est aussi.

Lotharius—> Ben je pensais aussi, mais nan 1/3 est bien égale a 0,3333… avec une infinité de 3 derrière

J'ai une autre absurdité mathématique qui montre que 1 = -1

-1 = (-1)¹ = (-1)^(2/2) = ((-1)²)^(1/2) = 1^(1/2) = 1

PS : Bien sur il y a un petit truc qu'on oublie de dire… Essayez de trouver laquelle…

Lotharius, tu as fait sur plusieurs points. un syllogisme a la structure logique suivante :

si A => B
et B=> C

alors A=>C. Typiquement, je suis un homme, les hommes sont mortels, donc je suis mortel. un tel syllogisme est toujours valde.

un “faux syllogisme”, est une gruge sur le sens des equivalance :

A => B

C =>B

donc (c'est faux) A => C Typiquement, les chats sont mortels, socrate est mortel, donc socrate est un chat. (cf les Shadoks)

l'exemple que tu donnes n;es pas un syllogisme, mais une egalite (en logique, une equivalence) ; si A =C et B= C ALORS A=B par transitivite de l'egalite ( de l'equivalence) , dans tous les cas. il ne sagit en aucun cas d'une equivalence fausse et incomplete… jsutement parce que'il s'agit d'equivalences, pas d'implications.

D'autre part, 0.333… (avec une infinite de 3 derriere), est strictement egal a 1/3, ce n'est en aucun cas un approximation.

J'avais fait une remarque qui explique l'intuition de l'approximation en parlant de la difference entre une “nmbre” et un “processus”, mais le modo qui a valide a vire, de facon tres idiote, tous les commentaires de moderation, meme ceux qui etaient pertinents apres la validation. Merci encore a toi, ami modo-qui-ne-merite-pas-ton-statut.

jijijaco : ton exmple est effectivement une gruge, de par la nature de la racine carree. En revanche, il est important de comprende que ce LSV est un fait mathematique pas une blague avec un piege comme ta demonstration.

Mais une fraction reste toujours un nombre que l'on ne peut écrire avec exactitude, malheureusement,
sinon pourquoi avoir inventé les fractions ?

Au niveau mathématique, 0.3333… tend vers 1/3 sans jamais l'atteindre. Il semble donc qu'il est faux de dire que 0.333… = 1/3.

Le passage à la limite tel que
0,99999… = Lim n->+oo (1 – 1/10^n) = 1
permet de sortir légerement et d'aller voir ce qu'il se passe un peu plus loin avec une certaine tolérance ( ce que l'on note epsilon dans les formules ). Ainsi, 0.99999… = 1 avec une certaine tolérance mais 0.9999… n'est pas strictement égal à 1…

En fait, le 0.99999…. se note analytiquement sum_(k=1)^{(infinity) [ 9*10}-k ] (semblant de notation latex)

Ce qui revient à dire que 0.999.. = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ....

On peut démontrer que cette somme tend vers 1 sans JAMAIS l'atteindre.

Junk, oui, j'ai probablement abusivement appelé la démonstration du LSV un syllogisme et je m'en excuse.
Il n'en reste pas moins qu'on fait une déduction logique en partant d'une donnée érronée, comme le soulignent Spider et Jijijaco. Car tu dis que : “D'autre part, 0.333… (avec une infinite de 3 derriere), est strictement egal a 1/3, ce n'est en aucun cas un approximation.” Or, nous ne sommes pas d'accord sur ce point. Je trouve que c'est une équivalence. J'ai tenté de l'expliquer par la logique, jijijaco l'a fait bien plus solidement par les mathémathiques. La différence entre 0,999… et 1 est infiniment proche de zéro, mais elle n'est pas égale à zéro.

Tiens, dans le même style : j'ai une distance de 2 mètres à parcourir. Le premier jour, je fais 1 mètre. Le jour d'après, la moitié, donc 50 cm. Je fais la moitié de la veille tous les jours. Rapidement, je ne vais plsu avancé que d'un nanomètre, puis la moitié, puis encore la moitié, toujours divisible et chiffrable… sans jamais atteindre la barre des 2 mètres au total ! Je serais pourtant infiniment proche de 2 mètres (et en pratique, évidemment que je serai à deux mètres).

Ca me rappelle une BD (Kidpaddle), un enfant avait lancé une flèche sur la tête du prof et un autre (habillé en scientifique) expliquait que c'était impossible car il fallait toujours parcourir la moitié du reste de la distance, et que donc elle allait s'approcher sans jamais toucher le prof. (Ca m'a marqué)

http://upload.wikimedia.org/math/9/5/f/95f1729c23de78f8c3e739a914eff0ca.png

jijijaco : n peut remercier Kidpaddle d'avoir popularise un paradxe etablie par Aristote.. . http://en.wikipedia.org/wiki/Zeno's_paradoxes#The_dichotomy_paradox

Rha la la, les jeunes de nos jours…

Jijijaco ( et Lotharius) : non, justement, ce n'est pas une limite de fonction, mais un nombre. c'est un nombre qui n'est pas developpable de maniere finie en base decimale, mais un nombre quand meme. Ce que je disais dans le LSV supprime, c'est qu'intuitivement on pense 1 comme un nombr,e et 0.9999… comme un “processus”, et on pense en terme de limite, ou on se dit que pour passer du processu a un nombre, il faut que le processus s'arrete.

Le principe de dire “c'est une limite, donc ca tend vers… mais ne l'atteint jamais” est vrai dans un cadre d'analyse puisqu'on parle d'un nombre non defini (souvent l'infini, mais parfois un reel)

typiquement, si tu prends x * (x-2/x-2), c'est une fonction qui n'est pas definie pour x = 2 a ce titre, la limite en 2 tend vers 2, mais ne l'ateint jamais, parce qu'elle ne peut l'atteindre qu'en deux ,ou la fonction n'est pas definie.

hors, ici, le nombre est defini avec une infinite de neuf. (ou de 3 pour un tiers) c'est pour ca que ce n'est pas exactement egal a la fonction (1 – 1/10^n), puisque celle ci n'est pas definie pour n=+oo n ne peut que tendre. Or le nombre existe, il est “defini par un infini non indefini” :p ton infini existe, c'est la definition du nombre…

si tu penses en terme de limite de fonction, tu pense a “un n suffisemment grand” auquel cas, effectivement, ca n'est pas egal a un, il reste toujours une difference de 10^-n, mais dans le cas present, ce n'est pas “un n aussi grand que l'on veut”, mais explicitement “l'infini”.

Je remet le lien qui a aussi ete supprime par le moderateur trop zele : http://en.wikipedia.org/wiki/0.999…

Ok Junk, le lien wiki m'a convaincu.

“This equality has long been accepted by professional mathematicians and taught in textbooks. Proofs have been formulated with varying degrees of mathematical rigour, taking into account preferred development of the real numbers, background assumptions, historical context, and target audience.”

J'en reste baba qd mm mais n'est-ce pas là l'essence d'un bon LSV ?
En tout cas, je n'en avais jamais entendu parler pendant mes 6 heures hebdo de maths au lycée (ou alors j'ai trop bu ces 12 dernières années).

Pour les autres sceptiques, essayez de trouver une pirouette en exploitant le paragraphe “Skepticism in education” du lien wiki. :-)

Bon, je suis face à un grand dilemme. Je ne suis pas convaincu par le lien mais en faisant des recherches j'ai trouvé une autre preuve qui elle me convaint totalement et dans laquelle je n'ai pas encore trouvé d'erreur.

On pose x = 0,999999….
10*x = 9,99999….
10*x – x = 9
9*x = 9
x = 9/9
x = 1 = 0,999999….

Quelque chose à dire contre ?

Bon, je crois que j'ai trouvé une piste pour une erreur.
L'erreur se trouve dans le fait qu'on ne peut pas écrire 0,9999…
Les points de suspensions sont une vue de l'esprit. En formalisme mathématique on est obligé d'écrire
sum_(n=1)^{(\infty){9*10}(-n)}
C'est ce qu'on appelle une série, derrière cette série, on voit apparaitre le signe infini. Lorsqu'on veut évaluer la valeur de notre série, on essaye d'aller jusque l'infini, on calcule donc une limite.
On en revient donc à la notion de limite. Qui est d'évaluer une valeur vers laquelle on tend mais qu'on ne peut atteindre…

jijijaco : ton “on ne peut pas ecrire”, c'est exactement ce que je disais, l'idee de la difference entre unprocessus et un nombre. C'est pas parce qu'on ne peut pas l'ecrire qu'il n'existe pas, et, non, ce n'est pas qu'une serie qui tend vers l'infini, mais un nombre avec un vrai infini de neuf. Va lire les liens, relis mes coms, si tu veux pas acceter le truc envers et contre tout, je peux plus rien pour toi…

typiquement, si tu poses A =0.9999(...) et B= sum_(n=1)^{(\infty){9*10}(-n)},
(deja tu peux simplifier B en B(m)= 1–10^-m, avec m -> +oo)

quel que soit n (ou m) aussi grand que tu le prennes, tu auras toujours B<A. donc le nombre n'est pas egal a cette serie… sauf en l'infini.

Ta grosse meconception ,'est le “on ne peut pas ecrire”, et de persister a penser en terme de series avec un infini non atteignable. dans 0.9999(...) on definit un nombre infini de 9, qui est “atteint”. Ca veut dire qu'on ne peut pas l'ecrire, mais d'un autre cote, il y a plein de nombres qu'on ne peut pas ecrire en developpement decimal, et qui existetnt et sont valides quand meme.

Je ne me borne pas, j'essaye de trouver une solution en me basant sur ce que je connais et sur ce que je trouve.
J'ai trouvé quelque chose d'intéressant sur wikipédia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_réel
Voir la partie sur le développement décimal infini. Ce que j'en comprends c'est que, en restant dans des connaissances de 'bases', 0,9999… = 1 et que donc le raisonnement du LSV est correct.
Mais que pour des raisons d'unicité dans les équations, des règles ont été fixées. Ca sort complètement de mes connaissances, je ne m'y aventurerai pas.
En résumé, 0,9999… = 1 est OK mais on transgresse une règle des nombres réels (que je ne connais pas).

Donc en gros, Le LSV est vrai, mais il transgresse une regle que tu ne connais pas encore? C'est si dur a accepter que ca? :)

lol c'est une démonstration de Ti 92
d'un point de vue métaphysique, on ne peut atteindre ni limiter l'infini
donc 0.999[infini]9 tend vers 1 , sans jamais l'atteindre….
c'est la définition même de l'infini.

Non zoltar, tu dis une betise, lis les lien, les commentaires, tu verras.

S'cusez moi, je vais faire mon Math Spé chieur…
mais je trouve ça assez rigolo les démonstrations mathématiques de 3 km de long qui tournent autour de 0,333333333… et 0,999999…
c'est quoi ces trucs avec des points de suspension?
Si on le considère comme un nombre avec une infinité de 3 (et on peut supposer que c'est l'idée dans le LSV d'origine), la démonstration est juste, pas de souci, puisque ce [0,(infinité de 3)] est bien égal à 1/3. C'est pour ça qu'on utilise les fractions pour écrire ce genre de nombres (les rationnels non décimaux, théorie des ensembles et tout ça…) c'est plus pratique qu'écrire une infinité de chiffres (quand on s'appelle pas Chuck Norris, c'est plus pratique quand meme).

Tout ça pour dire que quand on fait des maths, faut définir les concepts qu'on utilise. D'ailleurs (juste pour le fun) on peut renommer les concepts, ça ne change RIEN à leur nature. L'exemple typique de je ne sais plus quel mathématicien: “Si on appelle un Espace Vectoriel Euclidien un éléphant et une norme une trompe, on peut poser un théorème comme quoi tout éléphant a au moins une trompe. Mais il ne faut pas s'immaginer que cela ait quelque rapport que ce soit avec de gros mammifères gris!”

yoyo10 : “S'cusez moi, je vais faire mon Math Spé chieur…”
Je t'en prie.

yoyo10 : “mais je trouve ça assez rigolo les démonstrations mathématiques de 3 km de long qui tournent autour de 0,333333333… et 0,999999…”
Ben c'est pour expliquer aux sceptiques, passque bon, ce qui parait rigolo aux yeux d'un spécialiste peut aussi paraitre bizarre aux yeux d'un profane. C'est d'ailleurs à ça qu'on fait la différence entre les deux.

yoyo10 : “c'est quoi ces trucs avec des points de suspension?”
0,(3) pour les profanes.

Yoyo10 : ”“Si on le considère comme un nombre avec une infinité de 3 (et on peut supposer que c'est l'idée dans le LSV d'origine), la démonstration est juste, pas de souci, puisque ce [0,(infinité de 3)] est bien égal à 1/3. C'est pour ça qu'on utilise les fractions pour écrire ce genre de nombres (les rationnels non décimaux, théorie des ensembles et tout ça…) c'est plus pratique qu'écrire une infinité de chiffres (quand on s'appelle pas Chuck Norris, c'est plus pratique quand meme).”
Ben oui, c'est bien ce qui a été dit sur 3km. C'est rigolo.

yoyo10 : “Tout ça pour dire que quand on fait des maths, faut définir les concepts qu'on utilise. D'ailleurs (juste pour le fun) on peut renommer les concepts, ça ne change RIEN à leur nature. L'exemple typique de je ne sais plus quel mathématicien: “Si on appelle un Espace Vectoriel Euclidien un éléphant et une norme une trompe, on peut poser un théorème comme quoi tout éléphant a au moins une trompe. Mais il ne faut pas s'immaginer que cela ait quelque rapport que ce soit avec de gros mammifères gris!” ”
Ah par contre la ctation, elle est très plaisante ! :-)

Yoyo—> Le truc de l'infinité c'est marqué ds le LSV hein, mais a priori ce LSV n'est pas destiné aux gens qui on fait maths spé

Simplement….

“1/3” n'est pas égale a “0.3333…..” il est équivalent, les nombres décimaux sont des approximations, même en lancent des grand “infini” “infini”... donc mathématiquement, A équivalent a C et B = C, vous gagnez un beau 0 sur votre copie…

0.33333…. même avec une infinité de 3, reste une approximation…

Une autre démonstration que je vous ai vu mettre (pire encore ^^)
Si on se limite a 5 chiffres 9 (on sous entend les… derrière, mais comme ca on voit bien le décalage)

x = 0.99999
10x = 9.9999
et donc on a pas 10x – x = 9, car après la virgule, il n'y a plus autant de 9… (infini – 1 comme diraient les petits, c'est l'infini donc on peu me dire “on s'en fou” mais non, un tel décalage est monstrueux)

et dire que la limite quand n tend vers l'infini de 1 – (1/10)^n = 1, il y a convergence (enfin de tête) mais…pas égalité

En fait tout ça tourne autour de l'infini, qui nous parait tellement grand… que l'on se permet d'écrire des énormités…elle paraissent petit a coté :D

Oui mais non, 1/3 c'est exactement égale a 0,33333… avec une infinité de 3 derrière

C'est en croyant cette erreur que l'on pense que 3*1/3 = 0.99999…

Infinité ou non, ca reste une approximation

J'laime bien Zomzog, il arrive en prenant tout le monde de haut, parlant “d'ecrire des enormites”, clairement sans avoir pris la peine de se documenter avant. Ca nuit un peu a la credibilite…

Et nous balancer “c'est pas egal, c'est juste equivalent”, ca ressemble beaucoup a du “je comprends pas, donc c'est pas vrai”. un de plus pour l'album!

“In the last few decades, researchers of mathematics education have studied the reception of this equality among students, many of whom initially question or reject this equality. Many are persuaded by textbooks, teachers and arithmetic reasoning as below to accept that the two are equal. However, they are often uneasy enough that they offer further justification. The students' reasoning for denying or affirming the equality is typically based on one of a few common erroneous intuitions about the real numbers; for example that each real number has a unique decimal expansion, that nonzero infinitesimal real numbers should exist, or that the expansion of 0.999… eventually terminates.”

Pom pom pom

Zomzog, en plus de prendre de haut, ne prends pas la peine de lire jusqu'en bas. Par exemple – mes messages.
Parce qu'en gros, je disais moi aussi qu'il me semblait que c'était une équivalence est pas une égalité. Et puis, j'ai lu la source du LSV – où l'on retrouve d'ailleurs un paragraphe explicatif “Skepticism in Education” sur, justement, la difficulté d'accepter que ce soit une égalité et non une équivalence, comme on le penserait intuitivement.

je sens qu'il va rester lgtps lui

N'étant encore qu'en seconde, je ne peux pas donner d'avis mathématique et concret, mais je pense tout de même que 0.333… = 1/3 est une équivalence.
Et pour le lien http://upload.wikimedia.org/math/9/5/f/95f1729c23de78f8c3e739a914eff0ca.png qui me contredit totalement, je pense que l'erreur se trouve dans le fait que 10×0,999… n'égale pas 9,999… . Puisque même si les 9 après la virgule sont infinis, en multipliant par 10, le “0,999” aura tout de même plus de 9 après la virgule que le “9,999”, de façon théorique bien sur. Et donc que l'égalité 9,999 – 0,999 = 9 est fausse. J'ai raison ? T.T

Nan puisque c'est infini, infini – 1 = infini en qqe sorte :p

J'aimerais bien qu'on m'explique ce qu'est une “equivalence” entre deux nombres. Pour moi une equivalence c'est entre deux propriete ou predicats logiques, pas des nombres.

On dirait bien que vous avait invente une notion plus faible pour accepter plus facilement le truc, mais mathematiquement, ca ne veut rien dire.

De surcroit, pour le 9.99999(...) – 0.99999 (...), vous bloquez sur l'idee du “plus de neuf”, qui revient exactement a dire que la differrence, c'est un 1 la bas, tout a la fin precede par une infinite de zero. A ce moment autant faire direcentement 1 – 0.999(...) qui doit etre non nul si c'est nombre sont differents… et on voit alors bien que c'est 0.0000… () et un 1 tout a la fait, qui n'arrive jamais parce que'on doit caser une infinite de zeros devant.

Il faut bien comprendre que certaisn reels n'ont pas un developpement decimal unique

Je prend personne de haut… Je suis comme tout le monde quand on a pas beaucoup de confiture on l'étale beaucoup ^^

Tien je vais admettre que 0.333… = 1/3 (même si j'ai regarder le “Skepticism in Education” et qu'au final…je ne vois rien qui prouve, mais juste un passage pour dire “c'est vrais mais notre éducation et notre intuition nous dis le contraire” mais bon, j'accepte de le supposer)

Je dis juste que sans poser “0.333… = 1/3” la démonstration par limite de 1 – (1/10)^n ne tien pas car une convergence n'est pas une égalité, sinon on aurait pas inventer un autre terme :P

Celle avec 0.9999… = x et 10x-x = 9.99999… – 0.99999… = 9 me gène car le décalage est trop flagrant a mon gout… car x – (x – 1) quand on fait tendre x vers l'infini… ca reste 1… mais bon, c'est sur que si on considère que “0.9999… ” et égale “0.999…” allez zou ^^

Maintenant, j'arrête la….j'ai juste donner mon avis…. Maintenant il plait pas, alors…je propose que tout le monde vote “bah” a mes avis et comme ca j'embêterai plus personne :D

J'aime bien ce site, et y avoir créer une mauvaise ambiance e fait regretter d'avoir poster ^^

Zomzog : je comprends tres bien ton point de vue. Le probleme c'est que tu considere 0.9999(...) comme un processus ( on continue a ajouter des 9, a l'infini), et pas comme un nombre. A ce titre, tu considere l'infinite de 9 comme non-atteinte, comme une limite (et tu as raison, converger ne eut pas dire que c'est egal), alors que en fait 9.999(...) est un nombre. Tous les nombres sont la d'un coup.

La distinction processus/nombre (a meme que celle qui te fait douter du 1/3 = 0.3333(...) on en parle sur la Wikipedia, et on en a parle de nombreuses fois dans ce thread de commentaire, si tu avais regarde un minimum avant de poster, tu l'aurais vu.

Tu donne ton avis, il est bienvenu, c'est pas qu'il ne plait pas, au contraire, (souvent les gens qui ont tort nous font le coup “ah, mais jai un avis qui derange”, genre hyper subversif… non, c'est pas une question de plaire ou de derange, juste d'avoir raison ou pas) mais il est simplement faux.

Je suis consterne par l'aplomb que tu met dans tes paroles “et oh, les mecs, deux minutes, vous parlez avec vos fesses, la” alors que c'est une propriete mathematique etablie, ce n'est pas quelque chose que les gens de Spontex ont sorti d'un chapeau.

Mais ca n'emeche pas de voir regulierement des redresseurs de torts monter au creneau et partir en croisade contre un truc “faux”. Visiblement le fait que ca soit une propriete mathematique etablie ne les empeche pas de venir trouver diverses “failles” dans les raisonnements, et expliquer envers et contre tout que, finalement, les quelques siecles d'histoire des maths qui ont servi a etablir et prouver cette propriete, c'etait de l'erreur, et que ce sont eux qui ont raison…

Donc forcement avec ce genre d'attitude tu comprendras qu'on te taxe de prendre les gens de haut… Ce qui n'est pas un tort en soi, moi meme je le fais souvent, mais, avant de le faire, il convient de s'assurer qu'on a raison, sinon ca fait tache…

Je dis juste que…. ne pouvais pas éditer mon message, si il gène car considérer trop agressif (et peu être bien faux? après tout j'ai bien eu un cercle qui était une droite une fois…mais c'un autre contexte ^^) il suffit de le cacher ^^

Et désolé d'avoir louper certain poste, pour répéter ce qui n'avais pas besoin de l'être comme avis déjà mis ca ne se reproduira pas m'sieur l'agent ^^

A noter que le plus fort pour parler avec ses fesses c'est Al' (très impressionant franchement)

Oui Junk pour les O infinis avec un 1 à la fin, c'est justement pour ça que j'ai posté cet avis. Et puis “on voit alors bien que c'est 0.0000… () et un 1 tout a la fait, qui n'arrive jamais parce que'on doit caser une infinite de zeros devant” ... donc, dire que “0,999… = 1” , reviendrait à dire que 0 = 0,0…01. Ce qui est faux.
On peut donc dire, que “1 = 0,999…” N'EST PAS UNE EGALITE =)

ben si, 0 = 0,(0)1, je t'assure. incidemment, 0=-0,(0)1 et meme 0,(0)2

comme il y a une infinite de zeros, ton 1 ( ou ton 2), n'arrive jamais

N'arrive jamais en pratique, mais en théorie si :o sinon on ne l'écrirait pas… Une infinité de zéros d'accord, mais le dernier chiffre existe (théoriquement) aussi…

D'accord, et “en theorie”, il arrive ou, ton 1?

je suis d'accord avec les arguments exposés (enfin ceux que je comprend) mais y a un truc qui me gene :
comment un nombre reel peut etre egal a un AUTRE nombre reel ? (y sont pas tous différents par definition ?)

parce que votre truc reviens a dire :
soit x et y deux nombre reel consecutif
ont a x-y = 0.(0)1=0 (d'apres le LSV)
donc x=y
d'ou ” tout nombre reel est egal a celui qui le suit (resp qui le precede)”
donc “tout les nombres reels sont egaux entre eux”
......... j'ai du me planter mais où ?

sonic : le probleme est justement la : un meme reel peut avoir plusieurs developpement decimaux. La notion de reels “consecutifs” n'existe en outre pas parce que c'est un ensemble continu.

Pour ta petite demonstration par l'absurde, tu ecrit :

soit x et y deux nombre reel consecutif
bq. ont a x-y = 0.(0)1=0 (d'apres le LSV)
bq. donc x=y
bq. d'ou ” tout nombre reel est egal a celui qui le suit (resp qui le precede)”
bq. donc “tout les nombres reels sont egaux entre eux”

lea premiere ligne est fausse, il n' y a pas de reel “consecutifs”. Ta premiere et ta deuxieme ligne semblent faire uen equivalente entre consecutif et ajouter 0.(0)1. d'une part, 0.(0)1 = 0 de toutes manieres, puisque tu as une infinite de zero . De surcroit, le consecutif du consecutif( tu utilises une recurrence cachee pour passer de l'avant derniere ligne a la derriere), c'est, toujours selon toi, x +0.(0)1 +0.(0)1 = 0.(0)2, qui est toujours egal a 0 (a cause de ton infinite de zero).

Penser IR comme un ensemble discret a tres hautre resolution (ce que tu fais), n'est pas une solution. C'est un ensemble continu, c'est un passage a la limite. A ce titre, il ne'xiste pas de reel consecutifs, parce que ca voudrait dire qu'il existe deux reels distincts sans reel entre eux, ce qui serait en contradiction avec la notion d'ensemble continu. A ce tire, quel que soit deux reels distincts aussi proches l'u nde l'autre que l'on veut, entre les deux, il y aura toujours une infinite de reels.

merci junk !!!!
ton dernier paragraphe est un modele de pédagogie….. bravo!!!

A ce tire, quel que soit deux reels distincts aussi proches l'u nde l'autre que l'on veut, entre les deux, il y aura toujours une infinite de reels.

A ce titre, entre deux membres de lQ aussi, il y a une infinité de membres de lQ… pourtant,

Mans : titafait. C'est une condition necessaire, pas suffisante, a la continuite d'un ensemble.

mais, j'ai pas compris (un peu normale, je suis en 4ème)

1/3 = 0.3333…

1/3*3 = 1

mais 0.333… * 3 = 0.999…

donc 0.999…=1

C'est pas ça ?

Ahh les mathématiques, c'est pas facile !!!

si c'est exactement ça !!!
mais le débat est plutôt sur l'égalité 1/3=0.(3) pour certains se serai juste une approximation

Excellent le débat! Et excellent le site, par ailleurs ;).

Je pourrais peut-être apporter mon grain de sable?

Je pense que tout le monde sera d'accord pour dire que la suite 0,9 -> 0,99 -> 0,999 -> 0,9999 tend vers 1. Si on met n chiffres 9 après la virgule, et qu'on fait tendre n vers l'infini, on se rapproche de 1, sans jamais l'atteindre. Mais que veut dire “faire tendre n à l'infini”? ça veut dire que n se rapproche de l'infini, sans jamais l'atteindre.

Ébin justement, si on écrit 0,999… ou 0,(9) on dit qu'il y a une infinité de 9. Donc que notre nombre n a finalement atteint l'infini! De même, la suite a atteint la valeur 1! c'est la différence entre “autant de n qu'on veut” et “une infinité de n”.

Ce n'est certes pas une démonstration mathématique, du tout, il y a de vraies démonstrations dans les autres commentaires (et dans les liens proposés), c'est juste une façon de voir qui pourrait éclairer les sceptiques :-P.

cool, je comprends les maths ^^

sa devrait me servir pour ma 3ème d'ailleur ^^

Je pense que l'argument de Junk ” il n' y a pas de réels “consécutifs”” vaut son pesant de cacahuettes pour montrer que 0,(9) pas égal 1.

Ceci étant dit, je me demande (je suis sorti de taupe il 20 ans, alors il ne reste plus grand chose…) si “l'erreur” ne serait pas plutôt sur le 3×0,(3) = 0,(9) ?

Il n'y a pas d'erreur. La demonstration de la non-existence du concept de “consecutif” dans un ensemble continu contribue a confirmer le LSV, car la propriete provient directement de la non-unicite du developpement decimal dans IR.

Ce LSV est forcément faux: en prenant le nombre 1 entier naturel, il ne peut pas être égal à 0,(9) qui lui est un nombre d'un autre ensemble (réel). Pour ceux qui me diront que 1 est aussi réel, d'accord, mais comme il est avant tout entier naturel, il ne peut pas être égal à 0,(9) qui n'appartient pas à cet ensemble.

We got a winner!

Juste pour le plaisir, je me suis relu tous les commentaires une nouvelle fois, et celui de gui152 tout au bout fait vraiment exploser de rire…
Entre la forme et le fond de son commentaire tout met de bonne humeur je trouve!

J'aurai au moins réussi à mettre quelqu'un de bonne humeur avec mon commentaire, ça me fait plaisir merci camtuf :)

gui152 : La simplicite et l'elegance de la demonstration m'impressionne. Si tu n'es pas deja chef de projet, tu as clairement tout le potentiel pour en devenir un.

gui152: tout le plaisir est pour moi!

Junk: merci pour le commentaire mais n'étant pas chef de projet (juste étudiant en classe prépa) je vais prendre la grosse tête ^^

Attention de prendre tout commentaire de Junk au second degré avant de s'aventurer à le considérer au premier.

A noter que cette deuxième option n'est d'ailleurs à prendre avec sérieux que lorsque la première ne donne pas de résultats possibles.

gui152 : Si tu es en math sup, tu peux demander a ton prof de maths (si tu es en Hypokhagne ou en prepa HEc, ca risque d'etre plus dur)

INSA de strasbourg exactement et je demanderai à mes profs de maths (oui j'en ai deux) ce qu'ils en pensent… à la rentrée! (au moins leur réponse risque de clore le débat)

Tiens un autre Strasbourgeois… Tu étais à Sturm?
Sinon le débat était déjà clos ^^

l'INSA c'est pas exactement une prepa… mais a priori meme la, le niveau des profs de maths doit etre suffisent pour qu'ils puissent te detromper et t'expliquer que ce LSV est vrai. Ca va clore le debat, effectivement.

Je vous tiendrai au courant en septembre…

Purée moi j'ai 11 ANS et j'arrive a comprendre !

Cool tu auras une sucette

Il me semble aussi maladroit pour un raisonnement mathématique de dire que 0,9999…. = 1 que 1/3 = 0,3333… pour aller dans le sens de gui152.

On peut s'amuser longtemps quand on disserte avec les infinis “finis” (cf l'exemple d'Aristote, ou le nombre Pi) et les infinis “infinis” (la divergence d'une suite par exemple).

Mais bon, c'est quand même agréable de se faire mal à la tête.

Pour ceux qui seraient encore sceptiques:

http://lonewulf.free.fr/maths/demo.txt

Le site à la fâcheuse tendance à supprimer des parenthèses et des signes 'égal'

Si A => B
et B => C
donc A => C

tout le monde est d'accord !

Si le mur est jaune
et que les bananes sont jaunes

est-ce que les bananes sont mûres ? ;-)

Ma première lecture du LSV et des commentaire m'a plus que surpris et je me suis même indigné (mais c'est n'importe quoi tellement c'est pas possible que ce soit vrai :) ). Mais en fait le LSV est tout à fait vrai et peut s'expliquer simplement, non par des concepts compliques de limites mais seulement par des soucis de notation.
Je m'explique.
Le symbole 1/3 représente le nombre qui, multiplie par trois fait 1.
on peut lui donner n'importe quel symbole (un carre, un triangle ou tout autre chose), cela ne. changera pas le fait que 3 fois ce nombre feront toujours 1.
D'autre part, 1/3 est approximé par la valeur 0,3. elle est approximée plus précisément par 0.33. et ainsi de suite, sans jamais être égale (car tant que le nombre de 3 est fini, il s'agit toujours d'une approximation)
En revanche, je peux tout a fait ajouter les '...' après une approximation de ce nombre 1/3 pour obtenir une nouvelle notation.
En ajoutant ensuite 2 nouvelles notations suivant une logique mathématique (de la même manière que x+x = 2x = 2*x) , on se retrouve avec des NOTATIONS équivalentes:
0,333… = 1/3 est vrai, 0,6666…= 2/3 , 0,9999…=1 est vrai, et ce autant que x+x = 2x = 2*x = y .
Nous nous faisons seulement berner par l'amalgame que nous faisons entre l'approximation et la notation désignant nombre lui même (car 0,333 n'est pas égal a 1/3 :D )
Notez que ce même mécanisme a conduit les grecs a identifier pi comme la constante qui donnait la circonférence d'un cercle en fonction de son diamètre, nombre qui s'approche de 3,14 sans en être tout à fait égal…Mais bon c'est plus pratique d'écrire pi que 'un truc pas loin de 3,14' :)
<troll mode>
Après, on peut toujours trouver des manières très compliquées d'expliquer un truc simples…
</troll mode>

Je suis d'accord, je comprends les démonstrations, on me l'avait déjà expliqué, mais il y a un truc que je ne comprends pas :
Il y a un théorème qui dit que l'ensemble de tous les nombres réels forme une droite, donc quel est le nombre qui précède 1, si ce n'est pas 0,999999… (avec une infinité de 9) ?

il n'y a pas de nombre qui précède directement 1, puisque ce n'est pas un espace discret.
Admettons qu'on te donne le nombre qui précède immédiatement 1, qu'on appelle x, tu aurais ( 1+x)/2 qui serait plus proche de 1, et donc ton nombre x n'est pas celui qui précède immédiatement 1, ce qui est absurde…

ml2f : toi aussi tu te fais pieger en considerant la continuite de R comme enseemble discret de resolution infinie.

La notion de nombre consecutifs (le nombre qui precede 1) n'esoste pas en continu., on en a deja parle plus haut dans les commentaires :
http://www.spontex.org/le_saviez_vous/524/fr/#comment-5640

hihihi, j'adore les lsv comme celui là =)

en fait, je voudrais apporter ma pierre à l'édifice.

Ce lsv est donc bien vrai si on considère que l'infini existe vraiment…Si on considère que l'on ne peut l'atteindre on se trouve devant une erreure….

En fait, cette différence d'appréciation de l'infini représente une césure importante entre les mathématiciens. Je retrouverai les sources et les posterai ;)

Bonjours à tous, euh il me semble que avec “la vrai démonstration” (x=0.999… et 10x-x=9) on a bien 1=0.999…exactement, donc 1/3=0.333… exactement (on peut aussi poser la même démonstration avec x=0.33333 et 10x-x=3 donc 1/3=0.33333)?
De plus comme dit mon prof de math, “c'est juste que un type, un jour, en a eu mare de mettre les 3 petits points, du coup il a crée le symbole”.
A Bouba, je pense que la césure entre les mathématicien est actuellement bien désuète… puisque depuis un petit moment on peut choisir l'espace dans lequel on travail. Donc on peut choisir de travailler dans R par exemple, ou bien R accompli (avec +infini et -infini compris dedans).

Juste pour en rajouter une couche :

Zozo3876 a bien résumé la chose en disant qu'il ne s'agissait que d'une question d'équivalence d'écriture. 0.333… et 1/3 désignent effectivement le même réel, au même titre que 0.999… et 1, pour chaque couple, il s'agit d'écritures équivalentes du même nombre, et pas de nombres différents ou infiniment proches, il s'agit bien à chaque fois du même élément réel, on a juste plusieurs façons de l'écrire.

Je précise d'ailleurs suite au commentaire de gui152 : 0.999… est bel et bien un entier naturel, puisqu'il ne s'agit de rien d'autre que du nombre 1. On peut facilement se rendre compte que tous les entiers ont au moins deux écritures décimales, dont l'une d'entre elles se termine par une infinité de 9 (il suffit d'ajouter n'importe quel entier à l'écriture 0.999… pour s'en convaincre)

Pour plus de détails, l'écriture décimale d'un nombre est mathématiquement une suite d'entiers compris entre 0 et 9 (inclus).
Il est prouvé que l'écriture est unique si on exclut les suites qui ne contiennent que des 9 après un certain rang, c'est à dire dont l'écriture se termine par une infinité de 9.

Tous les nombres décimaux (qui possèdent donc une écriture décimale finie) possèdent donc aussi une écriture non finie, mais qui se termine par une infinité de 9, et qui n'apporte pas grand chose à leur étude… ;)

Bonjour,
pour rajouter un petit qqchose.
Je connaissais ce probleme et du coup un jour j'ai demandé à un prof de physique ce qu'il en pensait. Ne vous faite pas d'illusion je vais pas vous aider plus puisque mauvaise mémoire. Ce prof c'est genre bac +20 parle 5 langues…. MAIS il est pas mathématicien, physicien.

Donc celle que je connaissais était celle là :

x = 0,999999….
10*x = 9,99999….
10*x – x = 9
9*x = 9
x = 9/9
x = 1 = 0,999999….

Et là il m'a dit, “à oui, mais en faite les règles mathématique avec des infinité de chiffre 0.99999… ne sont pas les mêmes” donc pour lui 0.99999…. != 1 (différent de 1)

Perso je dirais comme certain ici que 0.99999… est équivalent à 1.

wiki, équivalence : http://fr.wikipedia.org/wiki/Équivalent mais bon, perso ça ne m'aide pas plus.

Le problème est là : “3*0,3333333333… = 0,99999999…”
Sauf que 0,3333333… = 1/3 donc 3 * 0,3333333…. = 1

C'est comme le coup (plus flagrant) de montrer que 1 = 2 en utilisant une racine carrée (la virer et oublier que racine(4) = 2 ou -2)

Kirstof, tu dis un peu nimp, il me semble :

Sauf que 0,3333333… = 1/3 donc 3 * 0,3333333…. = 1

justement, 3 * 0.333333(...) = 0.999999(...) = 1, c'est pas un embrouille , c'est une propriete mathematique.

C’est comme le coup (plus flagrant) de montrer que 1 = 2 en utilisant une racine carrée (la virer et oublier que racine(4) = 2 ou -2)

racine(4) = 2, certainement pas -2. La fonction racine est definie sur lR comme racine(x) = a tel que a soit positif et a² = x

tu confonds avec virer un carre, je pense…

Pour tous ceux qui ne comprennent pas la démonstration, je vais paraphraser un éminent prof de mathématiques qui un jour en topologie ou en théorie de la mesure, nous a sorti une belle phrase dont je ne me souviens plus l'exactitude, mais l'idée c'était:
“Ça se voit bien que vous y êtes pas allés à l'infini, sinon vous auriez pas dit une connerie comme ça”.

Bref, je sais que le concept d'infini est difficile à saisir, mais l'idée est là:
Il existe des nombres à développement décimal infini, mais si ce développement offre une périodicité quelconque, alors il appartient à l'ensemble des rationnels (Q), et peut être exprimé sous la forme d'une fraction. Dans ce cas, par un calcul qui a été développé trop de fois ici pour que je le retape, on peut extraire numérateur et dénominateur de ce rationnel. Et en l'occurrence, tous les nombres s'écrivant n,(9) sont des entiers.

Par ailleurs, un physicien, même à Bac+20, 10 langues parlées (klingon inclus), ne concevra jamais le concept d'une infinités de décimales, car il sera formaté par une notion de chiffres significatifs, et s'il est théoricien il aura pas vu de chiffre depuis la prépa, donc 0.999… a pour lui un nombre limité de chiffres significatif, donc n'est pas égal à 1. En plus il croit que les réels sont une pure invention de l'esprit parce que tout est multiple d'une quantité définie extrêmement petite ;).
Un mathématicien est un peu plus ouvert à l'abstraction (n'est pas pour autant plus intelligent), et a entendu parler de continuité, de séries, d'adhérence et que sais-je encore qui ont été inventées il y a 2 siècles justement pour rationaliser et expliquer le sus-dit LSV.

Ensuite on peut donner une démonstration plus capillotractée:
on prend uniformément un nombre aléatoire dans IR:
Par définition la probabilité d'obtenir ce nombre était nulle, un gros 0.0, et pourquoi on a réussi à l'obtenir? Simplement parce qu'on est dans un domaine de cardinal infini non dénombrable (<=> on peut pas faire de bijection entre les éléments de IR et ceux de IN ou un autre espace dénombrable). Donc en fait on avait en fait une chance sur un nombre interminablement immense et infini. Donc en fait on avait un truc infinitésimal du genre 0,(0)1 chance de tomber dessus. Et ce nombre vaut 0!
Ben oui, sinon on intègre sur IR la probabilité d'avoir chaque élément de IR, on se retrouve avec une incroyable surprise: on se retrouve avec p*oo = oo, alors qu'on est par définition censés trouver 1!
Donc la probabilité de ne pas tomber sur ce chiffre était de 1–0,(0)1=0.(9)
Comme 0,(0)1=0, alors 0.(9)=1–0 = 1.
CQFD.

NB: il arrive en probabilités qu'un événement de probabilité 0 arrive, comme ici, ou qu'un événement de probabilité 1 n'arrive pas. On a donc inventé un concept: un événement de probabilité 1 est dit arriver presque-surement (issu de la théorie de la mesure).

Voilà, j'aurais bien mis des sources mais j'y aurai passé le week-end.
En ce qui concerne les différentes théories, je vous invite cependant à vous documenter sur sciences.ch qui est un site bien monté (cependant pas vraiment destiné aux profanes, désolé).

PS: Merci à celui qui m'a lu en entier

Osé-je pousser le vice encore un peu plus loin ?

Humm… oui, j'ose.

Il existe une branche des mathématiques modernes qui permet de considérer des nombres “non standards”, ce qui permet notamment de démontrer plus facilement certains énoncés, puisqu'il a été prouvé qu'une démonstration non standard à un problème standard était équivalente à une démonstration standard du même énoncé.

Bref, le réel 3,333.. avec un nombre infiniment grand de 3 après la virgule existe, et est distinct du réel (et rationnel) 1/3, qui est sa partie standard. 3.333… (avec un nombre infiniment grand de 3) est un réel non standard, qui est en quelque sorte un réel précédant exactement 1/3, de sorte qu'il n'existe aucun réel standard qui soit compris entre 0.333… (avec un nombre infiniment grand de 3) et 1/3. De même, 0.999… (avec un nombre infiniment grand de 9) est un réel non standard précédant exactement le réel (et entier naturel) 1.

Bien sûr, vous me demanderez de préciser ce qu'est “un nombre infiniment grand”. Il s'agit d'un entier non standard, aussi appelé hypernaturel. Il s'agit bien d'un entier et pas d'une direction asymptotique, qui a la propriété d'être supérieur à tous les entiers naturels standards. On l'appelle communément “entier infiniment grand”.

Miam, mon cerveau est repu. Et vous, ça va ?

pampa : De ce que je comprend de l'analyse non-standard ( http://books.google.co.uk/books?id=IlLvgdiZsIIC&lpg=PA27&ots=4zfxTRl3xS&dq=nombres%20non%20standard&pg=PA32#v=onepage&q=nombres%20non%20standard&f=false ) tu t'engages un peu loin avec le “precedant exactement le reel 1”, qui me semble incompatible avec la continutie de IR : si 0.9999(...) (Apellons a ) precede exactement 1, ca veut dire qu'on a a<1, sans aucun nombre dans ]a,1[ (si j'ai bien compris ce que tu entends par “precede exactement”).

Manifestement, immediattement, puisque a et un reel et 1 un reel, il doit exister b tel que b = (a+1)/2, lui aussi reel puisque combinaison lineaire de deux reel. De sucrcroit, en partant de a<1, on obtient a<b et b<1 : on voit immediattement que c'est incompatible avec le “precede exactement” (du moins si j'ai bien compris ce que tu entendais par la)... en realite a = 1, c'est juste le meme reel.

Toujours de ce que je comprend de l'analyse non-standard, ca me semble etre une extension de l'analyse standard, avec deux trois axiomes en plus – son utilisation dans le cas present ne me parait ni utile (la propriete se montre tres bien avec de l'analyse tout ce qu'il ya de plus standard), ni pertinente (le fait que le probleme soit “plus facile a comprendre” reste a voir, ca me semble creer la confusion plus qu'autre chose)... cela dit c'est ce que les critique de l'ANS disent d'elle en general (c'est une formalisation un peu laborieuse du concept d'infini et d'infinitesimale qui n'apporte pas grand chose de plus – surtout au vu de la lourdeur prealable – que les definition standard, qui marchent tres bien).

Merci pour ce débat pationnant.
J'ai rarement passé une matiné aussi intéréssante (au point d'en oublier mon travail)
Ce débat mathématique a fini de me convaincre de rejoindre Spontex.

Personnelement je serais toujours faciné de voir les effets que l'on optient quant on parle de l'infini. Je pense simplement que si l'on a pas été préparé , ilest très difficile d'apréhender ce concept

Junk: Le principe de l'analyse non-standard, c'est de dire que tous les réels qu'on connait sont “standard”, et d'y ajouter des réels “non-standard” qui du coup ne sont pas des réels au sens de l'analyse classique. Dans ce cas, on peut très bien imaginer un nombre (non réel, du coup) qui soit infiniment proche de 1 par la gauche sans lui être égal, tout en étant strictement supérieur à tout réel strictement inférieur à 1. L'analyse non-standard permet de catégoriser ce genre de nombres sous l'appellation “réel non standard”, et propose une arithmétique de ces nombres tout à fait similaire à celle qu'on utilise sur IR.

Ensuite, le but de ma contribution, c'était simplement de semer un peu plus la perplexité (voire la discorde) au sein des commentaires, et aussi de répondre à mes incessants besoins d'étaler encore et encore mon peu de confiture.

Mais s'il faut se limiter aux commentaires utiles et pertinents, je veux bien arrêter mes bêtises, et mes traits d'humour de super-nerd.

pamoa : il y a une contradicion dans ce que tu dis : tu ne peux pas avoir…

“un nombre (non réel, du coup) qui soit infiniment proche de 1 par la gauche sans lui être égal, tout en étant strictement supérieur à tout réel strictement inférieur à 1.”

dans le cadre d'...

une arithmétique de ces nombres tout à fait similaire à celle qu’on utilise sur IR.

Que ton nombre soit standard ou non, alors tu ajoutes 1 et tu divise par 2, ca te donne un autre nombre, qui a priori est pas egal ni a 1 ni a ton premier nombre, est inferieur a 1, mais est superieur a ton premier nombre….

Donc soit le nombre n'existe pas, soit l'arithmetique n'est pas similaire a celle qu'on utilise sur IR…. c'est a dire qu'en tres gros on a le droit de dire “strictement inferieur” quand ca ne l'est pas, ou mieux, les relations d'ordre ne sont pas transitives. (ce qui est quand meme vachement chiant pour une relation d'ordre)

Junk: héhé, je me disais bien que tu ne te laisserais pas convaincre si facilement.

En fait, je n'ai dit nulle part qu'un tel nombre était unique. En réalité il y a une infinité de réels non standards qui satisfont la contrainte (x > (tout réel standard < 1) ET x < 1). En l'occurrence, (x+1)/2 satisfait la même contrainte, mais n'est pas un réel standard.

Discuter de l'utilité de cette analyse n'est pas tellement de mon domaine de prédilection, j'ai juste jugé que c'était suffisamment mathématiquement farfelu pour avoir sa place dans un commentaire d'un LSV tel que celui-ci.

IL EST TOTALEMENT FAUX DE DIRE CELA. JE SUIS MONITEUR DE MATHÉMATIQUES À L'UNIVERSITÉ, ET JE PEUX VOUS CONFIRMER QUE 0,33333… *3 = 0,99999…
INCONDITIONNELLEMENT. ARRÊTEZ D'ÉCRIRE DES FAUSSETÉS ET DE LES PUBLIER.

QU'ALLEZ-VOUS ESSAYER DE DÉMONTRER ENSUITE? QUE 1+1 N'ÉGALE PAS 2 ALGÉBRIQUEMENT EN DIVISANT PAR ZÉRO! (DÉMONSTRATION DU MÊME GENRE MAIS TOTALEMENT ERRONÉE)

Aucun avis, même le plus emprunt de vérité, ne gagne en validité à être hurlé, ce que représente l'écriture en majuscules (je salue au passage l'emploi des majuscules accentuées, ce qui contraste assez avec les messages de Junk =D).

Ensuite, il me semble qu'il n'y a pas besoin d'être “moniteur” de mathématiques à l'université pour savoir que l'écriture décimale d'un réel (comme énoncé plus haut) n'est pas forcément unique sans qu'on se fixe une règle comme “on ne considère pas les écritures qui ne comportent que des 9 après un certain rang”, et c'est précisément ce qui se passe pour l'écriture du réel 1.

Ceci dit, il n'y a visiblement pas besoin de savoir ça pour être moniteur de mathématiques, quoi que cela puisse vouloir dire.

Et à l'université vous n'avez que des claviers qui écrivent en majuscules? Cela doit être gênant au quotidien, ça doit un peu donner à chacun de vos interlocuteurs l'impression de se faire agresser…
Nous sommes tout à fait d'accord: 0,33333… *3 = 0,99999…, ceci est d'ailleurs écrit textuellement dans le lsv. Donc peux-tu expliquer clairement ce qui t'offusques à ce point (ce qui du haut de ton monitorat en mathématiques ne devrait te poser aucun problème…)?
(et sans hurler, tu seras gentil, parce que c'est très désagréable)

waoh

Bon, j'en reviens à ce débat. Je viens de lire la source (wikipédia) en Anglais.
Surtout la partie “Skepticism in education”

Une phrase m'interpelle fortement :

These ideas are mistaken in the context of the standard real numbers, although some may be valid in other number systems, either invented for their general mathematical utility or as instructive counterexamples to better understand 0.999….

Traduction (si je ne me trompe pas): Ces idées sont mises en défaut dans le contexte des nombres réels standard, bien qu'elles puissent être valides dans d'autres systèmes de nombre [...]

Donc ce que je disais il y a un petit temps maintenant était vrai. Ce LSV n'est pas valide si on travaille avec des nombres réels tels que ceux qu'on apprend à l'école (et surtout à l'université).

Ce qui veut pas dire pour autant qu'il est faux puisqu'il est correct dans d'autres systèmes de nombre…

Jijijaco: tu traduis correctement, mais tu as mal lu ce qui précède. La phrase s'applique à des idées fausses liées à ce type de nombres, idées fausses qui conduisent entres autres à dire que ce lsv n'est pas valide.
Cela dit donc exactement le contraire de ce que tu soutiens…

Oups oui tu as raison, au temps pour moi…

Plus je me renseigne et plus j'ai l'impression que c'est correct arf :-P

@jijijaco:
ce ne peut être que vrai : ça a été publié sur spontex !

La citation que tu fais me fais penser à un savon monumental passé par mon prof de physique à une classe entière, en première année de fac, parce qu'un innocent nouveau avait osé dire “ah… c'est logique”.

Le prof a hurlé (plus pour marquer les esprits que par irritation) pour dire “quoooiiii vous osez supposer que je puisse tenter d'enseigner des trucs illogiques ?! Vous confondez, bande d'ignares, la logique et le prjugé. Quand vous dites c'est logique vous pensez vraiment “c'est conforme au préjugé que j'en avais”. La jeunesse va mal, allez vous pendre.

Voila, maintenant, je sais pas pourquoi je viens vous raconter ça. Probablement pour vous dire que j'avais fait des cours de physique à la fac, avec un prof super…

J'ADORE!
merci.

une autre façon de réfléchir encore:
si on prend le problème à l'envers, et qu'on fait 1 – 0,99999… on obtient 0,00000…1
et c'est ce ”...1” qui quantifierait la différence entre 0,99999… et 1. Or, le nombre de 0 est infini, donc le 1 ne pourra jamais être placé! donc la différence entre 0,99999… et 1 n'existe pas, donc on peut leur rajouter une égalité.

Pas très rigoureux, mais original :}

A ouais !
1 an de commentaires quand même! En tout cas bravo pour les différentes démonstration qui on fini de me convaincre (au bout de 40min de lecture intensive, c'est le moindre mal ;] )

L 'affirmation que 0.999999…=1 a pour but d'embrouiller l'interlocuteur, en utilisant une notation assez peu conventionelle (normalement, on écrit explicitement la Limite, cf commentaire #1).

Et manifestement, cela marche très bien.

On peut démontrer facilement ça grâce aux séries numériques en math

0,99999…= 9/10 + 9/100 + 9/1000 + .....
= (9/10) * (1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + .....)

On sait que 1 + X + X^{2 + X}3 + X^4 +...... = 1/(1-X)
(c'est la série géométrique)

donc (9/10) * (1+ 1/10 + 1/100 + 1/1000 + .....)=(9/10)*1/(1–1/10)
= 1 !!

vous m avez replonge un bref instant 18 ans en arriere me revoici en terminale C .merci pour ce parfum de ma jeunesse.

La démonstration est fausse, et la thèse aussi !
0,999… est différent de 1 !

Ah oui tu as raison! Présenté comme ça évidemment on s'aperçoit immédiatement de notre erreur. Ce qu'on est con…

Inégalité de Grabel :
2 n’est pas égal à 3, même pour de grandes valeurs de 2 ou de petites valeurs de 3.

c'est un théorème qui serait bon à être publié dans Voici.

oups, on a le droit de citer des marques?

Vous m'avez donné mal a la tete…. :)

Sympa à lire tout ça.. Bon le fond du problème, c'est juste une histoire de notation et d'interprétation d'écriture mathématique.
Au sens rigoureux on ne peut affirmer que 0,999…=1, mais il est admis que l'égalité est vraie.. C'est le cas dans bien des domaines, souvent dans les mathématiques, où sont confrontées des méthodes “classiques” plutôt théoriciennes, et d'autres “modernes”, plus concrètes.

N'empêche que là on aurait donc le droit d'écrire :
1–0,999…=0
0,00000….1 = 0
1,000…..001 = 1
?

N’empêche que là on aurait donc le droit d’écrire :
1–0,999…=0
0,00000….1 = 0
1,000…..001 = 1
?

Sauf que non. Le passage de la première à la deuxième ligne est faux (ton '1' est “repoussé” à l'infini).

oui, mais les 9 aussi dans 0,999…
si 0,999… tend vers 1, on a bien 0,000…1 qui tend vers 0, non ?

@clementhol : Je viens de relire une bonne partie des commentaires (pour éviter les redites), et je t'invite à en faire autant. Le “cas” du 0,00…01 y est déjà abordé de manière très convaincante par Junk (à partir d'ici par exemple, et les commentaires qui suivent).

Je profite pour faire une piqûre de rappel. Petite démonstration simple de l'égalité du LSV : dans ce paragraphe, faire la même démonstration avec 0,999…9.

Edit : Désolé, j'ai édité mon message entre temps.

c'est plutôt irrationnel en effet !
Le 0,00…1 venait de 1–0,99…9, enfin c'est certainement peu correct, mais la question se pose.

Lisez cette histoire: Achille et la tortue (un des paradoxes de Zénon)
Dans le paradoxe d'Achille et de la tortue, il est dit qu'un jour, le héros grec Achille a disputé une course à pied avec le lent reptile. Comme Achille était réputé être un coureur très rapide, il avait accordé gracieusement à la tortue une avance de cent mètres. Zénon affirme alors que le rapide Achille n'a jamais pu rattraper la tortue. « En effet, supposons pour simplifier le raisonnement que chaque concurrent court à vitesse constante, l'un très rapidement, et l'autre très lentement ; au bout d'un certain temps, Achille aura comblé ses cent mètres de retard et atteint le point de départ de la tortue ; mais pendant ce temps, la tortue aura parcouru une certaine distance, certes beaucoup plus courte, mais non nulle, disons un mètre. Cela demandera alors à Achille un temps supplémentaire pour parcourir cette distance, pendant lequel la tortue avancera encore plus loin ; et puis une autre durée avant d'atteindre ce troisième point, alors que la tortue aura encore progressé. Ainsi, toutes les fois où Achille atteint l'endroit où la tortue se trouvait, elle se retrouve encore plus loin. Par conséquent, le rapide Achille n'a jamais pu et ne pourra jamais rattraper la tortue ».
Pourtant on sait tres bien qu'Achille rattrape la tortue. Les mathématiciens du 18eme siecle ont montré que certaines séries (sommes infinies) convergent vers une limite finie (ce qui a permis de résoudre beaucoup de choses dont les paradoxes de Zénon).
C'est à peu près le même problème qu'on se pose ici.
On peut décomposer 0,999999… en une somme infinie et montrer qu'elle est égale à 1. (j'ai posté une démonstration plus haut)

Je connais cette démonstration. Elle est correcte. Cependant l'interprétation est fausse :

0,999… != 1

Correct : 0,999… n'existe pas.
C'est la seule interprétation admise par les mathématiciens.

Ca tombe sous le sens : deux nombres différents (je ne parle pas de la forme de l'écriture) ne peuvent représenter la même valeur. Par contre rien ne dit que toutes les valeurs peuvent être représentées par les mathématiques.

Feng, avant d'arriver avec ton affirmation qui “tombe sous le sens”, as-tu bien pris la peine de lire et de comprendre tous les commentaires ci-dessus ?

Je ne suis pas mathématicien mais ce qui me gêne dans la démonstration du LSV, c'est la première ligne :

Bien que cela soit admis dans les mathématiques “de tout les jours” (comme dit wikipedia “selon les préférences pour la définition des nombres réels, les hypothèses sous-jacentes, le contexte historique, et le public visé”), il me semble que 1/3 ne peut être retranscrit exactement en système décimal si on veux être rigoureux

0.33… n'est qu'une approximation au plus près de 1/3 sous la forme décimale.
pour illustrer ma pensée :

1/3 = 0.3 + 0.1/3
1/3 = 0.33 + 0.01/3
...

donc aussi loin que l'on “pousse” les 3 (0.33…), on repousse le fameaux “iota” 0.0…1/3

quand on se met à parler de limite ok, 3*0.33… tend vers 1 et 0.0..1/3 tend vers 0

Je n'ai pas la prétention d'avoir absolument raison et de venir éclairer vos lanternes alors toutes remarques pertinentes sur mon commentaire sera plus que bienvenue afin que je me couche moins bête ce soir :p

Bonjour,

Venant de Maths sup et spé, et mathématicienne dans l'âme (la seule VRAIE science ! :-)) j'ai été bercée par cette évidence que 0,99…. = 1 comme démontré dans ce LSV, aussi vrai que B et A font BA. Mon mari ayant fait la même sup et spé que moi est lui un pur et dur physicien. Il a donc beaucoup de mal à accepter ce concept. Moi j'appelle cela concept, lui appelle cela “masturbation mentale”. Mais c'est en ça que réside toutes les mathématiques !
Bref tout ça pour dire que sur le même thème j'attends de voir le débat autour de l'assertion en géométrie projective : “des droites parallèles se coupent à l'infini”, phrase qui risque d'en remuer plus d'un aussi :-)
Merci pour ce LSV !

mathématicienne dans l’âme (la seule VRAIE science ! :-))

Mon mari [...] est lui un pur et dur physicien

Ça doit pas être très drôle à la maison, en tous cas je suis pas sûre qu'il apprécie ton assertion. Je conçois que l'on parle des mathématiques en tant que science-mère, mais d'affirmer que c'est la seule vraie science me parait un peu extrême.

1/3=0.333333… est une aproximation !
Lsv faux mais amusant tant dans l 'idée que dans les coms .

kouign, merci de ta contribution, mais quand on écrit 1/3 = 0,333333… il faut bien comprendre que les points de suspension sont là pour dire tu rajoutes des 3 jusqu'à l'infini ce qui reste donc tout à fait juste et non approché.
Si tu as une meilleure notation (à part 1/3 bien sûr) n'hésite pas à proposer.

1/3=0.33333…. avec une infinité de zéros après , est une approximation.
0.33333… avec une infinité de zéros, tend vers 1/3 sans jamais l atteindre.
tout comme 0.9999999… tend vers 1 sans jamais l'atteindre
si je me rappel bien d' après mon prof de maths: normalement sa se note avec un trait en dessous du dernier chiffre qui se répète a l'infinis ( j' ai pas trouver le moyen de le faire sur ce site.dsl )
mathématiques.

confirmer par des profs de maths de central et stan et un X (pour moi sa suffis) ... et par le bon sens mathématiques:
il y aura toujours une petite part , aussi infime/infiniment petite soit elle, qui séparera 0.99999 de 1

alors est ce qu'on peut généraliser ?
en admettant que: 0,999=1 => 1,1999999 = 1,2 ?
=> 1,999999=2 => 38,59999999=38,6 ?
8/3=2.66666666 ; 8/3 * 3/2 = 4 ; 2.6666*3/2=3.99999 => 3.9999=4 ?

oui, kouign tu as compris, mais tu devrais écrire 1,1(9) = 1,2 au lieu de 1,1999999 = 1,2 parce que ta notation pourrais en frustrer certains.

Je suis de ceux qui postulent que 1/3 est strictement égal à 0.(9), car pour moi, l'infini, même s'il est très difficile à manipuler en mathématiques et encore plus à accepter d'un point de vue métaphysique, existe. Pour faire un parallèle, notre Univers n'est pas borné, il est donc possible de parcourir une distance infinie sans jamais s'arrêter (même si à un moment donné on reviendrait peut-être au point de départ, la distance parcourue n'en est pas moins inchangée). Donc l'infini est une réalité physique, seulement elle n'est pas atteignable.

on en revient aux limites: 0.(9) tend vers 1 sans jamais l' atteindre.
l'infinis petit existe!
0.(9)+ infini petit=1 OK.
mais infinis petit est différend de 0

Je suis de ceux qui postulent que 1/3 est strictement égal à 0.(9)

Pas moi

on en revient aux limites: 0.(9) tend vers 1 sans jamais l’ atteindre.

Pour moi 0.(9) signifie 0.(infinité de 9). Cette notation est un raccourci pour la notation de limite, et la limite est strictement égale à 1.

Je suis de ceux qui postulent que 1/3 est strictement égal à 0.(9)

Chez moi et dans le monde réel et pas le monde méta-pataphysique, 1/3 est strictement égal à 0.(3)

1/3 = 0,333333333…
c'est faux, c'est environ égale
donc “Donc” : 0,9999999999… est environ égale a 1

Si je me souviens bien de mes cours de prépa, on m'avait dit :
Dans un espace continu, A et B sont deux nombres distincts s'il existe un nombre C tel que C > A et C < B ou l'inverse : C > B et C < A.

Or j'ai beau chercher, je ne vois pas quel nombre on peut intercaler entre 1 et 0.(9) ou 1/3 et 0.(3).

Au temps pour moi, je devais être fatigué ce jour là !
Je rejoins bibou1324.
L'infini est atteignable par les nombres, mais pas par l'esprit humain. Et c'est bien pour cela qu'est né ce débat, imaginer quelque chose qui atteigne l'infini est au-delà des compétences de notre esprit.

“Or j’ai beau chercher, je ne vois pas quel nombre on peut intercaler entre 1 et 0.(9) ou 1/3 et 0.(3).”
et bah 0.(0)1 avec une infinité de 0 entre la virgule et le 1 ce nombre est infiniment petit mais différend de 0

est ce que vous accepter l' infiniment petit différend de 0 ?
les deux sont lier si on accepte l' un on accepte l autre ( pour moi )
mais il est peut être plus facile de se représenter l' infinis petit: tu prend un chiffre et tu le divise par deux une infinité de foi , a la fin il te restera toujours quelque chose.

a la fin il te restera toujours quelque chose

La fin de l'infinité tu peux l'attendre longtemps…

:)
a la fin du raisonement !
edit:
tu prend un chiffre et tu le divise par deux une infinité de foi ,il te restera toujours quelque chose. (tout le temps)

si c 'est pas le cas, j'admet 0.99(9)=1 , logique ! nan ?

Tu prends un nombre et tu le divises par deux n fois, n étant un entier strictement positif, il restera toujours quelque chose effectivement. Et plus n sera grand plus ce quelque chose sera petit, sans jamais atteindre 0, on est d'accord. Sauf que l'infini n'est pas un entier mais un concept.

[mode vulgarisation on]
Plus n sera grand, plus ton nombre se rapprochera de 0. Une façon équivalente de dire est que la limite de ta suite est 0.
Que la limite d'une suite soit 0 ne veut pas dire que cette suite atteint 0, mais qu'elle s'en rapproche de plus en plus, et qu'il n'existe aucun réel tel que pour tout n, 0<réel<suite(n).
[mode vulgarisation qui n'en est pas complètement une off]

ok je suis d’accord :)
mais alors mathématiquement:

[mode superreflexion on]
la limite de ta suite est 3.
Que la limite d’une suite soit 3 ne veut pas dire que cette suite atteint 3, mais qu’elle s’en rapproche de plus en plus, et qu’il n’existe aucun réel tel que pour tout n, 3<réel<suite(n).
et donc 2,(9) tend vers 3 sans jamais l'atteindre
[mode superreflexion off]
oui ?

Je ne sais pas si quelqu'un a déjà posté cette autre démonstration, mais elle est moins difficile à admettre peut-être pour les sceptiques :

“Soit x = 0.(9)
Alors 10x = 9.(9)
Et 10x – x = 9
D'où 9x = 9
Donc x = 1”

Par ailleurs, malgré tous les débats sur le concept d'infini qui sont pour le moins intéressants, il n'en reste pas moins que 1/3 = 0.(3) est parfaitement exact. Certes on ne peut pas écrire la fraction 1/3 sous forme de nombre décimal, mais 0.(3) n'est pas un nombre décimal.

Que quelqu'un tente de m'écrire ce nombre entièrement, et je m'avouerai vaincu :D
Mais c'est un combat facile ;)

EDIT : Ah si, ç'a déjà été posté ><
Désolé pour le repost, mais tout de même. Je maintiens ce que je dis ! ^^

Quelque chose me turlupine…

Si on admet que 0.(9) = 1
on peut donc admettre que 0.9 = 0.8(9)
Et que 0.09 = 0.08(9) et 0.009 = 0.008(9)ect ect
Et donc en continuant ainsi 1=0.(9)=0.(8)
Et finir a 1 = 0.(1) ou bien en allant plus loin 1 = 0.0(9)

J'imagine que ce que j'énonce est faux mais je vois pas où serai l'erreur…
Ah moins que le postulat de départ soit justement faux .

zokoban :
Comment passes-tu de :

0.09 = 0.08(9) et 0.009 = 0.008(9)ect ect

à

Et donc en continuant ainsi 1=0.(9)=0.(8) ?

Parce qu'entre 0.8(9) et 0.8, il y a un monde : 0.1.

@mansuetus : Je pense que ce qu'il veut dire, c'est que dans 0.(9), on peut remplacer chaque 9 par un 8 et suite de 9.

Mako: j'ai bien compris ce qui a loupé dans son cheminement intellectuel : il constate qu'on peut remplacer CHAQUE 9 par un 8 suivi d'une infinité de 9 , qu'il n'a pas repris¹ pour dire que 0.9 = 0.8 (9)

¹ Ou repris que partiellement…

Autre démonstration :

2/3 = 0.666… car Satan vers l'infini.

et vous penser quoi de ça???
a=b
a+a=a+b
2a=a+b
2a-2b=a+b-2b
2a-2b=a-b
2*(a-b)=1*(a-b)
2=1

et vous penser quoi de ça???

Je pense que tu divises par (a-b) à l'avant-dernière ligne, ce qui est interdit car tu ne peux diviser par zéro; que c'est archi-connu et que c'est également hors-sujet.
D'autres questions ?

De la même manière, on m'a expliqué un jour que…99999999+1=0, car la somme est censée valoir 1 suivi d'une infinité de 0, ce qui n'est pas concevable puisque le 1 est toujours repoussé plus loin, donc il est enlevé purement et simplement.
Ca m'a paru assez étrange, mais pourquoi pas.

Mouais… je demande à voir une validation mathématique. Parce que le 1 qui est “enlevé purement et simplement”, c'est un peu trop facile je trouve. Tu aurais une source valable ?

Moi je prouve ça plus simplement…
On parle du nombre 0,9999999…9.
Or, d’après ce que j’ai appris en 6e je crois, après avoir tapé 2/3 sur la calculatrice, la prof nous a demandé : ” Pourquoi la calculatrice affiche 0,66666666…67 avec un 7 à la fin ?”
Personne ne savait et la prof nous expliquais qu'avec un chiffre décimal supérieur ou égal à 5, on augmente le chiffre d'avant/après.
Or, on peut dire qu'avec 0,999999…9, on augmente tout les 9 de 1 et on se retrouve avec 1.
J'ai du mal à expliquer mais j'espère que vous avez compris.

Cet après-midi, j'ai posé cette “colle” à des copains du boulot.
En conclusion, j'ai dit que je ne connaissais pas “la réponse”...
J'ai tendance à croire que 0.(9) n'est pas égale à 1 (je suis plutôt physicien, mais les mathématiques me fascinent “presque” autant que l'infinité de l'Univers).
Du coup, j'ai fait une petite recherche sur Internet, pour trouver une démonstration concluante, et je suis tombé sur votre site… vraiment intéressant ! (3 heures de branlette intellectuelle à tout lire).

Mais je reste agnostique sur cette question.

Cependant, dans les dernières remarques, il en est une qui retient l'attention. L'intervention de zokoban… mal formulée, mais l'idée y est. Je me permet donc de reformuler le questionnement.

Alors :

– Peut-on dire que 0.(9) = 0.(9)8 ?
– Peut-on dire que 0.(9)8 = 0.(9)88 ?
... et en poursuivant ce raisonnement à l’infini, peut-on dire que :
– 0.(9)(8)=0.(9)=1 ?
– Est-il possible que 2 infinis existent dans un seul nombre ?

PS : j'aurais bien aimé sortir un 7… et comble de l'absurde, je viens de le faire ;)

@Mayrik : ce qui ne va pas dans ton raisonnement, c'est, je pense, la première ligne :

Peut-on dire que 0.(9) = 0.(9)8 ?

Non, car quand tu écris 0.(9), cela signifie qu'il y a une infinité de 9 (sous-entendu que des neufs) derrière la virgule. Du coup, ton égalité n'est pas juste. Et ce qui suit non plus a fortiori.

je suis tombé sur votre site… vraiment intéressant ! (3 heures de branlette intellectuelle à tout lire).

Merci ! Et tu as vraiment tout lu en seulement 3h ? T'es un rapide dis-donc…

@Mako : J'ai dit que j'ai tout lu (topic), mais je n'ai probablement (certainement) pas tout compris… cela dit (sauf énorme erreur de ma part), je n'ai pas vu “la démonstration concluante” !

Merci, dans tous les cas, pour ta réponse rapide.

Je reste sceptique… une véritable démonstration n'admet pas de “sous-entendus” !

Mon “bon sens” me dit que 0.(9) n'est pas égal à 1 à l'infini.
Je pense que 0.(9) tend vers 1 à l'infini sans jamais l'atteindre, y compris “à l'infini”... et même après (Cf. de la difficulté de raisonner à l'infini).

Quelqu'un a-t-il vérifié, à l'infini, que 0.(9)=1 ?.. ou que 1–0.(9)=0.(0)1 ?.. Ou pas ?
J'ai envie de dire oupaoupa…

Si on admet que 0.(9)=1 “on peut” admettre que 1–0.(9)=0.(0)1 et donc, que 1=0.(9)=0.(9)8=0.(9)(8)
Où est l'erreur ? (une devinette dont je n'ai pas la réponse)… mais si on admet la proposition (1), on peut admettre (sauf sectarisme) la proposition (2) (si non, pourquoi ?), et évidemment la proposition (3)… et la (4)… et en fin de compte on se rend compte que la proposition (1) est erronée !.. oupa

Cela dit, sur un point, je rejoins l'avis de Junk… il n'existe aucune valeur discrète entre 0.(9) et 1… car le mur de Planck existe en physique, mais pas en mathématique !
(d'où le paradoxe du débat)

PS : il me faudra certainement plus de 3 heures pour apprécier pleinement ce site ;)

Si on admet que 0.(9)=1 “on peut” admettre que 1–0.(9)=0.(0)1 et donc, que 1=0.(9)=0.(9)8=0.(9)(8)

Même erreur que dans ton premier message je pense. En gros, tu ne peux pas écrire quelque chose comme ça : x.(y)z, car la notation (y) signifie “des y à l'infini”, et toi, tu colles un “z” encore derrière. Donc la première égalité est fausse à mon sens : 1–0.(9)=0.(0)1.

J’ai dit que j’ai tout lu (topic)

Au temps pour moi, en lisant ton commentaire, j'ai pensé “tout le site”, d'où mon étonnement…

Edit : Si tu n'es pas fâché avec l'anglais, je te conseil le lien donné par Junk bien plus haut : http://en.wikipedia.org/wiki/0.999%E2%80%A6.

Tiré de l'article wiki anglais
-Combien faut-il de mathématiciens pour changer une ampoule?
-0.(9)

Fatigué de bosser sur mon DM de maths, j'ai voulu me détendre un peu et suis aller sur Spontex..
Après avoir lu tout les commentaires, m'avoir mis le doute après certaine démonstration, avoir voulu faire moi même en faire une, je me suis rendu compte que ça faisait plus d'une heure que j'y étais. VDM
Ah merde pas le bon site..

Plus sérieusement, c'est fou comme on se laisse embarquer et comment un rien peut partir dans un débat monstrueux :p

Déterrage de post, en utilisant la mise en fraction d'un nombre périodique:

1) posons x = 0,99999…
2) 10x = 9,99999…
3) 10x = 9 + 0,99999…
4) 10x = 9 + x
5) 9x = 9
6) x = 9/9
7) x = 1

Pas d'approximation, pas de limite, juste de l'arithmétique simple.

Non…. tu peux pas écrire x = 0.9999
Et c'est pas parce qu'il existe quand même, que cela implique que 1 = 0.9999.

1/3 n'est pas égale à un chiffre décimale. Point.

Et ca n'est pas parce que vous citez des discussions sur wikipedia que vous avez raisons…

Il faut comprendre qu'en math, on a une certaine logique.

Le nombre 1/3 écrit de façon décimale implique qu'on puisse représenter et manipuler l'infini.

Or, c'est une bêtise. C'est le principe de l'infini. 0.3333333…. tends vers 1/3 sans jamais l'atteindre. Donc, essayer de manipuler 0.33333… comme 1/3 c'est une erreur. Et 0.99999… n'est pas égale à 1. Malgré le fantasme de certains…
C'est le principe de singularité. Il manquera toujours quelque chose à 0.3333333.. pour être égale à 1/3. On peut pas diviser par 3 de façon parfaitement égale une unité. Point. Si vous pouvez pas comprendre ca… on peut rien pour vous les gars.

J'adore ces gens qui parlent de comprendre l'anglais sans même le comprendre eux même….
Le site http://en.wikipedia.org/wiki/0.999%E2%80%A6

Est très claire…...: Therefore, 1 is the smallest number that is greater than all 0.9, 0.99, 0.999, etc., and so 1 = 0.999….

On nous dit que 1 = 0.999 mais que 1 est plis grand que 0.9999…

C'est complètement absurde d'utiliser cet article. Dans l'article il n'y a rien qui confirme que 1=0.99999.. , au contraire, on fait bien la différence.

En mathématique, 0.999999… est un nombre infini. Il est défini, mais infini. Et cela implique bien qu'il n'atteint jamais 1. Il sera très proche, sans jamais l'atteindre.

Après pour des raisons pratiques on peut dire qu'on néglige ce 0.000000001, or c'est une déformation de la réalité. Il manquera toujours 0.0000000001
Or ce n'est pas rien.

Point. Les autres visions ne sont que des adaptations.

The step from rationals to reals is a major extension. There are at least two popular ways to achieve this step, both published in 1872: Dedekind cuts and Cauchy sequences. Proofs that 0.999… = 1 which directly use these constructions are not found in textbooks on real analysis, where the modern trend for the last few decades has been to use an axiomatic analysis. Even when a construction is offered, it is usually applied towards proving the axioms of the real numbers, which then support the above proofs. However, several authors express the idea that starting with a construction is more logically appropriate, and the resulting proofs are more self-contained.¹²

With this construction of the reals, all proofs of the statement “1 = 0.999…” can be viewed as implicitly assuming the equality when any operations are performed on the real numbers.

Ce no sont que des avis, des opinions. Dans les math, les axiomes, 0.99999… n'edt pas égale à 1. Il y a une différence entre les deux. Certes dans les applications, cela se rapprochant vraiment du 1, on néglige la différence, ou on néglige la notation. Tendre n'est pas égale à ” egale ”

Tout existe en math, et c'est pas parce que certains ne prennent pas la peine de faire la différence entre 2 notions, qu'ils ont raisons. Et c'est pas parce que en application, on arrive à s'en sortir, que cela implique sa véracité.

Si les deux chiffres sont distincts, il est possible de glisser un chiffre entre les deux, non ? Ce serait quel chiffre, à votre sens ?

J'adore ces gens qui parlent de comprendre l'anglais sans même le comprendre eux même…. Le site [...] Est très claire

J'adore ces gens qui parlent de comprendre une langue quand ils ne maîtrisent pas les bases de leur propre langage.

Apparemment, l'anglais c'est pas si clair non plus :-)

Est très claire ……: Therefore, 1 is the smallest number that is greater than all 0.9, 0.99, 0.999, etc., and so 1 = 0.999….
On nous dit que 1 = 0.999 mais que 1 est plis grand que 0.9999…

La phrase citée sur WP est :

This repeating decimal represents the smallest number no less than every decimal number in the sequence (0.9, 0.99, 0.999, ...).¹ This number is equal to 1 . In other words, “0.999…” and “1” represent the same number.

Voilà, donc ça me semblait clair ici et là bas…

Une vidéo bien foutue sur le sujet : https://www.youtube.com/watch?v=SDtFBSjNmm0
Et la chaîne dans son entièreté est fantastique.