Dans le même style :

Tout nombre réel dont les décimales décrivent un motif peut s'écrire de la manière suivante :
“le motif” / “autant de 9 qu'il y a de décimales dans le motif”
exemple :
0,987523164987523164987523164987523164 etc…
peut s'écrire :
987523164 / 999999999

Ce qui implique que tous ces nombres sont rationnels

Aikanaro :
ça veut également dire que 1/7 = 124857/999999, c'est d'ailleurs pour cette même raison que 999999/7 = 124857 (produit en croix)
des propriétés bizarres sur les inverses de nombres premiers y en a tout un tas.
1/11 par exemple, peu importe par combien tu le multiplies, tu obtiendras toujours un nombre avec un motif à 2 chiffres dont la somme sera égale à 9.

salut les jeunes, les maths n'etant pas mon domaine de prédilection par exellence, je me permet juste une petite question : si on fait 142857 * 10 (ou 100, 1000 etc…) on a bien un 0 qui aparait en plus des 6 chiffres de bases non ? 1428570 ne semble pas vraiment etre “une permutation cyclique du nombre”.... du moins tel que je lie la def du LSV…

Je me suis posé la même question que toi, le_boulet.
Mais j'en arrive à la conclusion que ça ne marche que 6 fois, car 142857 contient 6 chiffres…

Cela dit, c'est bien dit en base 10… Par ce que en binaire, je pense qu'il y'en a tout un tas! surtout si on met les 0000… devant…

@le_boulet & le_hollandais_volant: et si on le multiplie par 42 ou 51 ça donnera pas grand chose non plus, mais c'est quand même un joli exploit d'arriver à faire que les 6 premiers multiples (x1-x6), ceux qui ont le même nombre de chiffres, soit composés des mêmes chiffres, c'est ce que ce LSV souligne…

Ce joli nombre était un exercice dans des manuels de maths de CM2 dans les années 50 il parait…

@Kicker: on parle pas de motif en maths, mais de nombres à décimales périodique, on apprend ça genre au collège ;)
D'ailleurs on t'apprends en même temps à trouver la fraction associée:
soit p la période de la partie décimale (le nombre de chiffres formant le “motif”), on prend (10^{p-1)a pour faire disparaitre la partie décimale, on obtient un entier n, on a donc a= n/(10}p-1). Je crois que j'étais en 5e quand j'ai appris à faire ça, si ce n'est plus tôt…
C'est pas pour sodomiser les diptères parce que c'est ce que tu as dit, mais ça n'a rien de magique, et tout le monde devrait le savoir ça…

Bonjour voici Mon premier post en se magnifique endroit que détente intellectuel.

Étant assez bon en math pour me permettre de divaguer un peu, je peux confirmer qu'il est possible de continuer la suite dans une certaine mesure.

142 857 un beau nombre non?
7×142857= 999999
8×142857=1 142856
9×142857=1 285713
10×142857= 1 428570
11×142857= 1 571427
12×142857= 1 714284
13×142857= 1 857141
14×142857= 1 999998
15×142857= 2 142855

ainsi en additionnant le premier chiffre de chaque résultats au dernier de celui ci, nous retrouvons notre bon 142 857.
Il est alors possible de dire, m^me si c'est arracher par les cheveux, que 142 857 recommence toujours un cycle perpétuel avec peu de changements.

il est possible d'obtenir des résultats en le divisant aussi, sauf qu'il seras un nombre a virgule.

Et 142 857 142 857, il a les mêmes propriétés (et si vous avez suivi, il y en a une infinité…)
Bref 142 857 n'est pas le seul nombre cyclique.

Pour votre culture aussi :
Relisez Lewis Carroll (mathématicien et logicien), on y trouve dans ses ouvres complètes, cette propriété de 142857.
Il semble donc que l'auteur d'Alice au pays des merveilles en soit l'inventeur.
Pour finir, tout le monde connait l'approximation de Pi par 22/7 !
ET bien, 22/7=3,142857…..
Vous en voulez encore ?

Oh la vache, j'ai lu tous les commentaires, et je crois que j'ai pas pigé une seule phrase! Je suis le seul dans ce cas ou c'est normal?

Ca va m étre utile…

bien sûr que t'es normal, nomilk, puisque t comme moi! no comprendo non plus, même si tout me semble logique, mais il me faudrait +sieurs heures pour faire le point, je retourne donc à ma musique

@ nomilk : t'inquiète : t'es parfaitement normal.
Moi non plus, je ne comprends RIEN !!!

@epsilon: non 142 857 142 857 n'est pas cyclique…
142 857 142 857 * 7 = 999 999 999 999 par exemple (on retrouve d'ailleurs la propriete enoncee plus haut)

@epsilon: non 142 857 142 857 n’est pas cyclique…
142 857 142 857 * 7 = 999 999 999 999 par exemple (on retrouve d’ailleurs la propriete enoncee plus haut)

Je ne comprends pas : si 142857 est un nombre cyclique admis et que 7×142857= 999999, pourquoi 142 857 142 857 n'est-il pas cyclique alors que lui aussi, si on le multiplie par 7, donne un nombre avec plein de 9 ?

@_MAL _: Attention, tu confonds. Le fait que 142.857×7 = 999.999 n'implique pas que c'est un nombre cyclique. En réalité, comme 142.857 n'est composé que de 6 chiffres, cela ne fonctionne qu'avec les 6 premiers multiples (i.e. 1, 2, 3, 4 ,5 et 6).

Pour des explications plus détaillées, je t'invite à jeter un œil aux sources du LSV.

Edit : En regardant la source française citée dans le LSV, on peut lire que le fait que 142.857×7 = 999.999 est une identité remarquable. Autrement dit, c'est une conséquence, et non une cause.

wahoo la vache ! c'est hyper intéressant ! si on expliquait les maths de cette façon à l'école… j'en aurai eu une bosse sur la tête (bosse des maths of course) oups

@epsilon OUI J EN VEUX ENCORE !!!!!!!!!!!!!!! trop fort !

Ca fonctionne en décimales:

1/7 = 0.142857… (la partie décimale étant périodique.)

Pour la suite, il suffit de savoir quel est le premier chiffre de la série.

Que vaut 2/7 ?

Dans 20 on a 7 deux fois. Donc 2/7 = 0.2 et le reste, c'est-à-dire 0.285714…

Je comprend pas, enfin pas tout. Dans le LSV, à par que ce sont toujours les mêmes chiffres qui réapparaissent dans les multiplications de 142 857 par des entiers de 1 à 6, je vois pas trop ce que ce chiffre à de spécial…
Et pour post de Tsariste, je suis d'accord avec lui pour 142 857×15 = 2 142 855 -> 2+5= 7 -> 142 857
Mais avec 142 857×14 = 1 999 998…
Bref, si quelqu'un pourrait m'expliquer un peu plus clairement, je lui en serais reconnaissant.

@epsilon :
22/7 n'est pas simplement égal à 3,142857… mais à : 3,142857142857142857142857142857…
Encore plus remarquable…..

0142857
7×2+0=14
14×2+0=28
42×2+1=85
28×2+1=57
capilotracté mais curieux, non?

Et dire qu'il y a des LSV sur des aspects théoriques de la musique qui sont refusées parce que trop spécialisées… Pourtant ici, même moi qui ne suis pas matheuse, j'ai relativement pigé et c'est vachement intéressant. Et même si on pige pas, ça rend curieux, on fait des recherches… non?

Et dire qu’il y a des LSV sur des aspects théoriques de la musique qui sont refusées parce que trop spécialisées…

Les lsv musicaux sont victimes de Daubysme (c) c'est le théorème 14.
Et puis ce LSV il est pas spécialisé, tout le monde peut le comprendre hein, suffit de savoir faire une multiplication.

0 est un autre “seul nombre cyclique”
Non ?

Bonjour, je me suis aperçu que tous les multiples et familiers de 3; quand on les divise par 1,68 : la chaine 142857 se greffe aux décimales, et même , aussi,après un zéro dans les décimales, 142857 apparait quand même…je peux étayer, si ça intéresse, ou voyez mon blog sur 142857-art
0,24 ÷ 1,68 = 1÷7 = 0,142857 142857 142857
1,68 a la même propriété d'attraction que ÷7, mais sur les multiples de “3”, ps, la somme des composants étant aussi multiples de 3, il sont faciles à repérer, ainsi les dates de naissance de Eintein et Bohr divisées par 1,68 entrainent aussi 142857 dans les décimales, tout comme 666 : 1,68 = 396,42857 142857 142857. Notez l'apparition des 9 chiffres.etc…