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Élargissons le cercle de nos amis
Par mansuetus - 14 déc. 2009   


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33 commentaires Spacroyable !
Spitoyable.


Que l'on soit 10, 100 ou 1000 dans une ronde, il faut que chacun se recule de 28 cm pour ajouter une personne dans un cercle.

Détails :

Instinctivement, on a tendance à croire qu'ajouter une personne dans un cercle de 1000 personnes ne fera reculer chacun que de quelques millimètres pour qu'il ait sa place dans la ronde.

Contre-intuitivement, ce n'est pas le cas car le périmètre et le rayon du cercle sont proportionnels :

P = 2 * π * R

Donc si on change le périmètre de 1,75 m (ce qui est approximativement l'envergure d'un homme), il faut changer le rayon de 1,75/(2 * π) pour que le cercle demeure homogène.


Junk
Junk - 13 déc. 2009 - 18:42 - (lien vers ce commentaire)

Tiens, je connaissais la meme propriete avec “si on met une ficelle autour de la terre, et qu'on rajoute un metre, de combien ca souleve”, et c'est le truc que quand tu le dis aux gens, pour peux qu'ils soient verses sur ce genre de trucs, ils font “non, mais attends, ca peut pas etre vrai, atta, donne moi un papier et un crayon…”



Lotharius
Lotharius - 14 déc. 2009 - 10:03 - (lien vers ce commentaire)

Exactement Junk. Je me souviens qu'en première, nous avions un problème dans le même style en maths : de combien de cm baisse le point le plus bas d'une ligne électrique tendue entre deux pylônes si tu la relâche de 5 cm ?
C'est impressionnant et du coup, on comprend mieux pourquoi les lignes ont l'air si détendues parfois. En fait, elles sont déjà pas mal tendues !



atalon
atalon - 18 déc. 2009 - 17:56 - (lien vers ce commentaire)

La démonstration mathématique complète:
Si P = 2 Pi * R
si on rajoute un homme dans le cercle:
p + 175 = 2 Pi *(R+x) ou x est l'accroissement du rayon
alors (p + 175)/ 2Pi = R + x
et x = (p+175)/2Pi – R
x = R + 175/2Pi – R = 28 cm à peu près



Junk
Junk - 18 déc. 2009 - 18:40 - (lien vers ce commentaire)

C'est marrant, je connais un autre spiche qui se termine par “28 cm à peu près”.



Lotharius
Lotharius - 18 déc. 2009 - 19:35 - (lien vers ce commentaire)
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coucou_c_moi
coucou_c_moi - 29 déc. 2009 - 17:24 - (lien vers ce commentaire)
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foxpapa
foxpapa - 2 jan. 2010 - 02:08 - (lien vers ce commentaire)

Je la trouve plus impressionnante ennoncée comme ça :

Si on fait le tour d'une orange avec une ficelle il faut rajouter exactement la même longueur pour écarter la ficelle d'un mètre de la surface que si on le faisait autour de la Terre ( encore faut il admettre que la Terre est une sphère ce qui est quand même une grosse approximation )



sonic
sonic - 8 jan. 2010 - 16:16 - (lien vers ce commentaire)
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silk
silk - 8 jan. 2010 - 20:18 - (lien vers ce commentaire)

Si chacun recule de 28cm, le rayon du cercle augmente bien de 28 cm. C'est le diamètre qui augmente de 56cm.
Un cercle se définit comme l'ensemble des points situés à une certaine distance du centre, cette distance étant appelé rayon. Donc si tout le monde était à 2m du centre et recule de 28cm, tout le monde sera bien à 2.28m du centre, non ?
Fais-toi un dessin si tu vois pas ;)



sonic
sonic - 9 jan. 2010 - 03:16 - (lien vers ce commentaire)
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nomilk
nomilk - 30 mai 2010 - 02:56 - (lien vers ce commentaire)
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atchoum
atchoum - 10 juin 2010 - 15:41 - (lien vers ce commentaire)

autre calcul bête:
si on tend un fil à travers le lac léman de Vevey à Murat (plus grande distance possible, env. 50 km), de par la courbure de la terre, à quelle profondeur sera le fil au milieu du lac?
Indice, le rayon de la terre est d'environ 6360 km.



mansuetus
mansuetus - 10 juin 2010 - 17:23 - (lien vers ce commentaire)

Atchoum : je crois qu'il y a un piège, non ?

parce que le lac est courbe…. comme la terre :-)



atchoum
atchoum - 10 juin 2010 - 17:36 - (lien vers ce commentaire)

bien sûr, mais si tu tends ton fil à mort entre les deux rives, lui sera droit non?…
fais le calcul c'est assez impressionnant…j'arrive toujours pas savoir si mon calcul est juste, ça me paraît énorme…



Julius
Julius - 11 juin 2010 - 23:53 - (lien vers ce commentaire)

Un petit peu moins de 100m en dessous du niveau de l'eau ?



atchoum
atchoum - 14 juin 2010 - 10:26 - (lien vers ce commentaire)

J'arrive autour de 50m… tu dois prendre la moitié des 50km…
j'ai recalculé 5 fois parce que j'étais sûr d'avoir fait une erreur :-)



mansuetus
mansuetus - 14 juin 2010 - 15:43 - (lien vers ce commentaire)

@atchoum :
au temps pour moi, j'ai lu trop vite ^^

bc.
=> Soit Téta, l'angle “d'ouverture” du lac de 50kms
(vu du centre de la terre)
[[par définition de l'angle, en radians]]
> Teta = 50 / 6360 => Soit Alpha, l'angle entre la corde et le rayon de la terre passant par un des deux points (c'est symétrique). > Alpha = (Pi – Teta)/2
[[somme des angles triangle = Pi]]
=> Soit X la longueur entre le centre de la terre et le
centre de la corde (au fond de la flotte)
> sin (Alpha) = X / 6360 [[ sin = opposé / hypoténuse ]] > X = 6360* sin((pi-Teta)/2)
==> X = 6360* sin(( pi-(50 / 6360))/2)
==> X = 6 359,95086 kms

Donc la distance est P = 6360 – X ~= 0,049135 kms ~= 49,14 m

P ~= 49,14m



atchoum
atchoum - 14 juin 2010 - 16:52 - (lien vers ce commentaire)

oye, j'ai aussi eu ça… Mais sans utiliser les angles…
On prend un triangle isocèle Vevey-centre de la terre-Murat et on cherche sa hauteur, du coup on s'en sort avec Pythagore…
je savais pas comment le tourner pour en faire un LSV ( d'ailleurs est-ce que ça aurait passé?),mais je m'en fous, j'adore ce genre de calculs débiles…
(encore un truc pour frimer en soirée…)



mansuetus
mansuetus - 14 juin 2010 - 17:04 - (lien vers ce commentaire)

Tu dois approximer la longueur de la corde, pour ça, non ?

car la corde ne fera PAS 25 kms, mais une chouille moins…

ton calcul est BEAUCOUP plus simple, mais le miens est plus juste, je pense ^^



atchoum
atchoum - 14 juin 2010 - 17:18 - (lien vers ce commentaire)

oula,ouais… c'est vrai que j'ai pas vu mon erreur vu que ça change pas grand chose et qu'on fait des approximations, mais c'est un calcul carrément faux..
(s'incline et sort)



Ghost
Ghost - 15 juin 2010 - 02:40 - (lien vers ce commentaire)
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atchoum
atchoum - 15 juin 2010 - 11:25 - (lien vers ce commentaire)

En général, ça fait plus ou moins la même taille si tu te tiens debout ou si tu écartes les bras (en comptant le tronc), mais ça reste approximatif. Cetaines personnes ont des grand bras par rapport à leur taille, et d'autres pas. Les grimpeurs appellent ça le “monkey factor” :-)



yorenwan
yorenwan - 22 juil. 2010 - 15:15 - (lien vers ce commentaire)
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Raph
Raph - 22 juil. 2010 - 15:38 - (lien vers ce commentaire)

yorenwan: un triangle isocèle peut être découpé en 2 triangles rectangles symétriques ;)



atchoum
atchoum - 22 juil. 2010 - 15:39 - (lien vers ce commentaire)

Je suis allé un peu vite… En prenant la hauteur du triangle, on peut le couper en deux triangles rectangles identiques. Puisqu'on connaît l'hypoténuse (le rayon de la terre) et une cathète (la moitié de la distance Vevey-Murrat), on peut calculer la hauteur (deuxième cathète du triangle rectangle).
Mais mon calcul est pas juste, car la première cathète n'est pas exactement la moitié de la distance Vevey-Murat (c'est la longueur de l'arc qui suit la terre).
Regarde plutôt le calcul de Mans, qui est juste…



Mako
Mako - 22 juil. 2010 - 16:29 - (lien vers ce commentaire)

@yorenwan: On peut appliquer une formule plus générale que celle de Pythagore dans le cas d'un triangle quelconque, cela s'appelle le théorème d'Al-Kashi (en France), ou loi des cosinus (avec les notations usuelles: a² = b² +c² -2b.c.cos(A), où A est l'angle opposé au côté a).



atchoum
atchoum - 22 juil. 2010 - 17:22 - (lien vers ce commentaire)

Mako, mets peut-être théorème du cosinus entre parenthèses pour ceux qui (comme moi) ne sont pas Français…



Mako
Mako - 22 juil. 2010 - 18:43 - (lien vers ce commentaire)

@atchoum: Effectivement, je n'avais pas fait attention à la double appellation, erreur corrigée. Pour ma défense, j'avais toujours entendu parler du théorème d'Al-Kashi, et jamais de la loi des cosinus.



atchoum
atchoum - 22 juil. 2010 - 19:04 - (lien vers ce commentaire)

Ben moi c'est juste le contraire ^^



smic
smic - 14 oct. 2010 - 00:58 - (lien vers ce commentaire)

En fait la question d'atchoum est un piège: Vevey et Morat (Murten en allemand) ne sont pas sur le même lac (Vevey est sur le lac Léman, Morat sur le lac de… Morat! Mais ces villes sont bel et bien séparées par environ 50km (55km exactement)). La plus grande distance possible sur le lac Léman (donc entièrement au-dessus de l'au) devrait être Vevey-Nyon, soit à peu près 48km.



atchoum
atchoum - 25 oct. 2010 - 15:12 - (lien vers ce commentaire)

autre calcul bête:
si on tend un fil à travers le lac léman de Vevey à Murat (plus grande distance possible, env. 50 km), de par la courbure de la terre, à quelle profondeur sera le fil au milieu du lac?
Indice, le rayon de la terre est d’environ 6360 km.

Où donc vois-tu un Morat écrit mon ami?



Erine
Erine - 31 oct. 2010 - 10:25 - (lien vers ce commentaire)

Il n'y a pas aussi un rapport avec le cosinus hyperbolique?



Bshar
Bshar - 31 août 2011 - 16:58 - (lien vers ce commentaire)

finalement, le commentaire d'atchoum est mieux que le lsv original :)
on peut aussi exprimer cette profondeur en se 'débarrassant' du cosinus
en notant c la longueur de la corde (le lac, donc) et r le rayon de la terre, l'angle sous lequel on voit le lac depuis le centre de la terre est a=c/r; si h est la distance entre le centre de la corde et celui de la terre, cos (a/2) = h/r, et p la profondeur qu'on cherche, on a
p = r – h = r (1- cos(a/2)); puisque c<<r, cos (a/2) ~ 1-a²/8, et donc
p ~ ra²/8 = c²/(8r)